浅谈:双曲线中的垂径定理

作者: 张老师 分类: 每日说题 发布时间: 2022-10-04 08:00

双曲线中的垂径定理
(以焦点在$ x$轴的双曲线方程为例)


(1)如图1或图2,E为弦AB的中点,则$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$;
(2)如图3,$ l$与双曲线相切于E点,则$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{l}}=\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$;
(3)如图4,过O点的 $ l$交双曲线于A,B两点,E是双曲线上异于A、B点的动点,则$ {{k}_{{BE}}}\cdot {{k}_{{AE}}}=\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$.
(4)如图5,$ l$交上双 曲线两渐近线于A,B两点,E为线段AB的中点,则$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$.
【注意:若焦点在$ y$轴上的双曲线方程,则上面斜率乘积结论变为:$ \frac{{{{a}^{\text{2}}}}}{{{{b}^{\text{2}}}}}$,即$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=$$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{l}}=$$ {{k}_{{BE}}}\cdot {{k}_{{AE}}}=\frac{{{{a}^{\text{2}}}}}{{{{b}^{\text{2}}}}}$】

【例】已知A、B是双曲线$ \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1(a>0,b>0)$的两个顶点,P是双曲线上异于A、B的另一点,P关于$ y$轴的对称点为$ Q$,记直线AP、BQ的斜率分别为$ {{k}_{1}},{{k}_{2}}$,且$ {{k}_{1}}{{k}_{2}}=-\frac{4}{5}$,则双曲线的离心率为            

【解析】$ {{k}_{{AQ}}}=-{{k}_{1}}$,由垂径定理得$ -{{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{1}{{{{e}^{2}}-1}}=\frac{4}{5}\Rightarrow e=\frac{3}{2}$

答案:$ \frac{3}{2}$

 

 

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