双曲线中的垂径定理
（以焦点在$ x$轴的双曲线方程为例）

（1）如图1或图2，E为弦AB的中点，则$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$;
（2）如图3，$ l$与双曲线相切于E点，则$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{l}}=\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$;
（3）如图4，过O点的 $ l$交双曲线于A,B两点，E是双曲线上异于A、B点的动点,则$ {{k}_{{BE}}}\cdot {{k}_{{AE}}}=\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$.
（4）如图5，$ l$交上双 曲线两渐近线于A,B两点，E为线段AB的中点，则$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$.
【注意：若焦点在$ y$轴上的双曲线方程，则上面斜率乘积结论变为：$ \frac{{{{a}^{\text{2}}}}}{{{{b}^{\text{2}}}}}$，即$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=$$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{l}}=$$ {{k}_{{BE}}}\cdot {{k}_{{AE}}}=\frac{{{{a}^{\text{2}}}}}{{{{b}^{\text{2}}}}}$】

【例】已知A、B是双曲线$ \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1(a>0,b>0)$的两个顶点，P是双曲线上异于A、B的另一点，P关于$ y$轴的对称点为$ Q$，记直线AP、BQ的斜率分别为$ {{k}_{1}},{{k}_{2}}$，且$ {{k}_{1}}{{k}_{2}}=-\frac{4}{5}$，则双曲线的离心率为            

【解析】$ {{k}_{{AQ}}}=-{{k}_{1}}$，由垂径定理得$ -{{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{1}{{{{e}^{2}}-1}}=\frac{4}{5}\Rightarrow e=\frac{3}{2}$

答案：$ \frac{3}{2}$