椭圆中的垂径定理（以焦点在轴的椭圆方程为例）

           图1                       图2                     图3

（1）如图1，在椭圆C中，E为弦AB的中点，则$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=-\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$;

（2）如图2，在椭圆C中，$ l$与椭圆相切于E点，则$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{l}}=-\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$;

（3）如图3,$ l$过中心O,交椭圆于A,B两点,E是椭圆上异于A、B点的动点则$ {{k}_{{BE}}}\cdot {{k}_{{AE}}}=-\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$.

【注意：若焦点在$ y$轴上的椭圆方程$ \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}=1(a>b>0)$，

则上面结论变为：$ -\frac{{{{a}^{\text{2}}}}}{{{{b}^{\text{2}}}}}$，即$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=$$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{l}}=$$ {{k}_{{BE}}}\cdot {{k}_{{AE}}}=-\frac{{{{a}^{\text{2}}}}}{{{{b}^{\text{2}}}}}$

【例1】过点M(1,1)作斜率为$ -\frac{1}{2}$的直线与椭圆相交于A,B两点，若M是线段AB的中点，则该椭圆的离心率为       .

解：由垂径定理，$ {{k}_{{OM}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=\frac{1}{1}\times (-\frac{1}{2})=-\frac{{{{b}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}$，$ \frac{{{{b}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}=\frac{{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}$，即$ \text{1}-{{e}^{2}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}$，因为0<e<1,所以解的$ e=\frac{{\sqrt{\text{2}}}}{\text{2}}$