浅谈:椭圆中的垂径定理

作者: 张老师 分类: 每日说题 发布时间: 2022-10-03 19:33

椭圆中的垂径定理(以焦点在轴的椭圆方程为例)

           图1                       图2                     图3

(1)如图1,在椭圆C中,E为弦AB的中点,则$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=-\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$;

(2)如图2,在椭圆C中,$ l$与椭圆相切于E点,则$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{l}}=-\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$;

(3)如图3,$ l$过中心O,交椭圆于A,B两点,E是椭圆上异于A、B点的动点则$ {{k}_{{BE}}}\cdot {{k}_{{AE}}}=-\frac{{{{b}^{\text{2}}}}}{{{{a}^{\text{2}}}}}$.

注意:若焦点在$ y$轴上的椭圆方程$ \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}=1(a>b>0)$,

则上面结论变为:$ -\frac{{{{a}^{\text{2}}}}}{{{{b}^{\text{2}}}}}$,即$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=$$ {{k}_{{OE}}}\cdot {{k}_{l}}=$$ {{k}_{{BE}}}\cdot {{k}_{{AE}}}=-\frac{{{{a}^{\text{2}}}}}{{{{b}^{\text{2}}}}}$

 

【例1】过点M(1,1)作斜率为$ -\frac{1}{2}$的直线与椭圆相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则该椭圆的离心率为       .

解:由垂径定理,$ {{k}_{{OM}}}\cdot {{k}_{{AB}}}=\frac{1}{1}\times (-\frac{1}{2})=-\frac{{{{b}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}$,$ \frac{{{{b}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}=\frac{{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}$,即$ \text{1}-{{e}^{2}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}$,因为0<e<1,所以解的$ e=\frac{{\sqrt{\text{2}}}}{\text{2}}$

 

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