例（选自2022年西工大附中第十三次练考）．已知椭圆$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>b>0} \right)$的左、右焦点分别为$ {{F}_{1}}$、$ {{F}_{2}}$，经过$ {{F}_{1}}$的直线交椭圆于$ A$，$ B$，$ \displaystyle \vartriangle AB{{F}_{2}}$的内切圆的圆心为$ \displaystyle I$，若$ \displaystyle 3\overrightarrow{{IB}}+4\overrightarrow{{IA}}+5\overrightarrow{{I{{F}_{2}}}}=\overrightarrow{0}$，则该椭圆的离心率是（    ）

A．$ \frac{{\sqrt{5}}}{5}$ B．$ \frac{2}{3}$ C．$ \frac{{\sqrt{3}}}{4}$ D．$ \displaystyle \frac{1}{2}$

【答案】A

【分析】对$ \displaystyle 3\overrightarrow{{IB}}+4\overrightarrow{{IA}}+5\overrightarrow{{I{{F}_{2}}}}=\overrightarrow{0}$变形得到，进而得到以$ \left| {A{{F}_{2}}} \right|:\left| {B{{F}_{2}}} \right|:\left| {AB} \right|=3:4:5$，结合椭圆定义可求出$ \displaystyle \left| {A{{F}_{2}}} \right|=a$，$ \left| {B{{F}_{2}}} \right|=\frac{4}{3}a,\left| {AB} \right|=\frac{5}{3}a$，$ \left| {A{{F}_{1}}} \right|=a$，由余弦定理求解$ a,c$关系式，求出离心率.

【详解】因为$ \displaystyle 3\overrightarrow{{IB}}+4\overrightarrow{{IA}}+5\overrightarrow{{I{{F}_{2}}}}=\overrightarrow{0}$，所以，

如图，在$ B{{F}_{2}}$上取一点M，使得$ \left| {BM} \right|:\left| {M{{F}_{2}}} \right|=5:3$，连接$ \displaystyle IM$，则，

则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以$ {{S}_{{\vartriangle IA{{F}_{2}}}}}:{{S}_{{\vartriangle IB{{F}_{2}}}}}:{{S}_{{\vartriangle IBA}}}=3:4:5$，

所以$ \left| {A{{F}_{2}}} \right|:\left| {B{{F}_{2}}} \right|:\left| {AB} \right|=3:4:5$，

设$ \left| {A{{F}_{2}}} \right|=3x$，则$ \left| {B{{F}_{2}}} \right|=4x,\left| {AB} \right|=5x$，

由椭圆定义可知：$ \displaystyle \left| {A{{F}_{2}}} \right|+\left| {B{{F}_{2}}} \right|+\left| {AB} \right|=4a$，即$ 12x=4a$，所以$ \displaystyle x=\frac{a}{3}$，

所以$ \displaystyle \left| {A{{F}_{2}}} \right|=a$，$ \left| {B{{F}_{2}}} \right|=\frac{4}{3}a,\left| {AB} \right|=\frac{5}{3}a$，$ \left| {A{{F}_{1}}} \right|=a$

故点A与上顶点重合，

在$ \displaystyle \vartriangle AB{{F}_{2}}$中，由余弦定理得：

$ \cos \angle BA{{F}_{2}}=\frac{{{{{\left| {AB} \right|}}^{2}}+{{{\left| {{{F}_{2}}A} \right|}}^{2}}-{{{\left| {{{F}_{2}}B} \right|}}^{2}}}}{{2\left| {AB} \right|\cdot \left| {{{F}_{2}}A} \right|}}=\frac{{\frac{{25}}{9}{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-\frac{{16}}{9}{{a}^{2}}}}{{2\times \frac{5}{3}{{a}^{2}}}}=\frac{3}{5}$，

在$ \vartriangle A{{F}_{1}}{{F}_{2}}$中，$ \cos \angle BA{{F}_{2}}=\frac{{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-4{{c}^{2}}}}{{2{{a}^{2}}}}=\frac{3}{5}$，

解得：$ \displaystyle \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，

所以椭圆离心率为$ \frac{{\sqrt{5}}}{5}$.

故选：A

【老张说题】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出$ a,b,c$的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将$ \displaystyle 3\overrightarrow{{IB}}+4\overrightarrow{{IA}}+5\overrightarrow{{I{{F}_{2}}}}=\overrightarrow{0}$进行转化，这里可以用到向量中的奔驰定理，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形$ \displaystyle AB{{F}_{2}}$三边关系，求出离心率.