咸阳市2023年高考模拟检测（三）

数学（理科）试题

注意事项：

1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．

2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂墨．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．

第Ⅰ卷（选择题   共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合$ A=\{x\in {{\text{N}}^{*}}|-1<x\le 3\}$，则集合A的真子集个数是（       ）

A．6                           B．7                           C．8                           D．15

2．已知复数$ z=\frac{{2-3\text{i}}}{\text{i}}$，则复数$ z$的共轭复数的虚部是（       ）

A．$ -2$                  B．$ -2\text{i}$  C．2                           D．3

3．如图，在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，点$ \displaystyle D$为$ \displaystyle BC$边的中点，$ O$为线段$ \displaystyle AD$的中点，连接$ \displaystyle \text{CO}$并延长交$ AB$于点$ \displaystyle E$，设$ \displaystyle \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{a}$，$ \displaystyle \overrightarrow{{AC}}=\overrightarrow{b}$，则$ \displaystyle \overrightarrow{{CE}}=$（       ）

A．$ \frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$                                                                     B．$ \frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

C．$ \frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$                                                                     D．$ \frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$

4．已知方程$ \text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha +2\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha -2\text{sin}\alpha -4\text{cos}\alpha =0$，则$ \text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha -\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha =$（       ）

A．$ \displaystyle -\frac{4}{5}$ B．$ \displaystyle \frac{3}{5}$                                   C．$ \displaystyle -\frac{3}{5}$  D．$ \displaystyle \frac{4}{5}$

5．已知函数$ \displaystyle f(x)$的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（       ）

A．$ \displaystyle f(x)=\frac{{{{\text{e}}^{x}}}}{{\sin x}}$     B．$ \displaystyle f(x)=\frac{{{{\text{e}}^{x}}}}{{\cos x}}$

C．$ \displaystyle f(x)={{\text{e}}^{x}}\cos x$    D．$ f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}\sin x$

6．已知正三棱锥$ A-BCD$的所有棱长均为2，点M，N分别为棱AD和BC的中点，点E为棱AB上一个动点，则三角形$ \displaystyle MEN$的周长的最小值为（       ）

A．3                           B．$ 2+\sqrt{2}$                                  C．$ \displaystyle 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$                       D．$ \displaystyle 4+\sqrt{2}$

7．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}-ax+b$的两个零点分别在区间$ \displaystyle \left( {0,1} \right)$和$ \left( {1,2} \right)$上，则$ \displaystyle f\left( {-1} \right)$的取值范围为 （     ）

A．$ \left[ {1,5} \right]$                  B．$ \left( {1,5} \right)$

C．$ \left( {2,6} \right)$                  D．$ \displaystyle \left[ {2,6} \right]$

8．已知函数$ f\left( x \right)=2\sin \left( {\omega x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}} \right)(\omega >0)$，对任意$ \displaystyle x\in \mathbf{R}$，恒有$ f\left( x \right)\le \left| {f\left( {\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}} \right)} \right|$，且$ \displaystyle f(x)$在$ \left( {0,\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}} \right)$上单调递增，则下列选项中不正确的是（       ）

A．$ \omega =2$

B．函数$ \displaystyle f(x)$的对称轴方程为$ x=\frac{{k\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{2}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\left( {k\in \mathbf{Z}} \right)$

C．$ y=f\left( {x+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{{12}}} \right)$为奇函数

D．$ \displaystyle f(x)$在$ \left[ {-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4},\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}} \right]$上的最大值为$ \frac{{\sqrt{3}}}{2}$

9．已知实数$ x,y\in \left[ {0,2} \right]$，任取一点$ \displaystyle \left( {x,y} \right)$，则该点满足$ {{\left( {x-1} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2$的概率是（       ）

A．$ \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{8}$       B．$ \displaystyle \frac{1}{4}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{8}$

C．$ \frac{3}{4}-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{8}$                                                                     D．$ \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$

10．已知$ a=\frac{1}{{2023}}$，$ \displaystyle b={{\text{e}}^{{-\frac{{2022}}{{2023}}}}}$，$ \displaystyle c=\frac{{\cos \frac{1}{{2023}}}}{{2023}}$，则（       ）

A．$ a>b>c$                                           B．$ \displaystyle b>a>c$

C．$ \displaystyle b>c>a$             D．$ a>c>b$

11．已知等差数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$，$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和分别为$ {{S}_{n}}$，$ {{T}_{n}}$，若$ \left( {2n+3} \right){{S}_{n}}=n{{T}_{n}}$，则$ \displaystyle \frac{{{{a}_{5}}}}{{{{b}_{6}}}}=$（       ）

A．$ \frac{9}{{25}}$                          B．$ \frac{1}{3}$      C．$ \frac{9}{{21}}$                                   D．$ \frac{{11}}{{25}}$

12．已知抛物线$ \displaystyle y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}(y\le 8)$，把该抛物线绕其对称轴旋转一周得到一个几何体，在该几何体中放置一个小球，若使得小球始终与该几何体的底部相接，则小球体积的最大值为（       ）

A．$ 4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$    B．$ \frac{4}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$                                   C．$ \frac{{32}}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$                                   D．$ \frac{{256}}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若一数列为2，7，14，23，$ \cdot \cdot \cdot $，则该数列的第8个数是________．

14．已知三角形$ \displaystyle ABC$的三个内角$ A$、$ B$、$ \displaystyle C$所对的边分别是$ \displaystyle a$、$ b$、$ \displaystyle c$，若$ a\text{cos}C+c\text{cos}A=3$，且$ \displaystyle {{a}^{2}}+{{c}^{2}}=9+ac$，则$ \displaystyle \vartriangle ABC$面积的最大值为______．

15．已知$ \displaystyle f(x)$是定义在R上的偶函数，当$ x\ge 0$时，$ \displaystyle f(x)={{\text{e}}^{x}}-\cos x$，则不等式$ \displaystyle f(x-1)-1<{{\text{e}}^{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}$的解集是________．

16．已知$ {{F}_{1}}$，$ {{F}_{2}}$是双曲线$ \displaystyle C:\frac{{{{x}^{2}}}}{5}-\frac{{{{y}^{2}}}}{4}=1$的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别为$ \vartriangle M{{F}_{1}}{{F}_{2}}$的内心和重心，若IG与y轴平行，则$ \displaystyle \overrightarrow{{M{{F}_{1}}}}\cdot \overrightarrow{{M{{F}_{2}}}}=$________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必顺作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．

(1)求这100份数学试卷的样本平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)在样本中，从数学成绩不低于125分的试卷中，随机抽取3份进行答卷情况分析，设$ \displaystyle X$为抽取的试卷成绩不低于135分的试卷份数，求$ \displaystyle X$的分布列及数学期望．

18．如图，三棱柱$ ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$的侧面$ \displaystyle B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C$是边长为1的正方形，平面$ \displaystyle B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C\bot $平面$ \displaystyle A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B$，$ AB=4$，$ \displaystyle \angle {{A}_{1}}{{B}_{1}}B=60{}^\circ $，$ \displaystyle G$是$ {{A}_{1}}{{B}_{1}}$的中点．

(1)求证：平面$ \displaystyle GBC\bot $平面$ \displaystyle B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C$；

(2)在线段$ \displaystyle BC$上是否存在一点$ P$，使得二面角$ P-G{{B}_{1}}-B$的平面角为30°？若存在，求$ \displaystyle BP$的长；若不存在，请说明理由．

19．已知数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$满足$ {{a}_{{n+1}}}-2{{a}_{n}}=n-1$，且$ {{a}_{1}}=1$．

(1)求数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的通项公式；

(2)数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前n项和为$ {{S}_{n}}$，若$ \displaystyle {{S}_{n}}<2023$，求n的最大值．

20．已知椭圆$ \displaystyle C$：$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1$（$ a>b>0$）的左，右焦点分别为$ {{F}_{1}}$，$ {{F}_{2}}$，$ M$为椭圆$ \displaystyle C$上的一个动点，$ \angle {{F}_{1}}M{{F}_{2}}$的最大值为$ 120{}^\circ $，且点$ M$到右焦点$ {{F}_{2}}$距离的最大值为$ \displaystyle 2+\sqrt{3}$．

(1)求椭圆$ \displaystyle C$的方程；

(2)已知过点$ {{F}_{2}}$的直线$ \displaystyle l$交椭圆$ \displaystyle C$于$ A$，$ B$两点，当$ \displaystyle \vartriangle {{F}_{1}}AB$的面积最大时，求此时直线$ \displaystyle l$的方程．

21．已知函数$ f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}+\left( {1-a} \right)x-\text{ln}\left( {ax} \right)$（$ \displaystyle a>0$）．

(1)当$ \displaystyle a=1$时，求曲线$ \displaystyle y=f\left( x \right)$在点$ \displaystyle \left( {1,f\left( 1 \right)} \right)$处的切线方程；

(2)若对于任意的$ x>0$，有$ f\left( x \right)\ge 0$，求正数$ \displaystyle a$的取值范围．

（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22．直线$ l:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=a-2t} \\ {y=-1+t} \end{array}} \right.$（t为参数），圆$ C:\rho =2\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4})$（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）．

(1)求圆心C到直线l的距离；

(2)若直线l被圆C截得的弦长为$ \frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，求a的值．

【选修4-5：不等式选讲】

23．已知定义在R上的函数$ f(x)=\left| {x-1} \right|+\left| {x+2} \right|$的最小值为p．

(1)求p的值；

(2)设$ a,b,c\in \mathbf{R}$，$ \displaystyle {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}=2p$，求证：$ \displaystyle \left| {a+2b+3c} \right|\le 6$．