长安一中2022-2023学年度第二学期期中考试高一数学试题

一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知i为虚数单位，$ \displaystyle a,b\in \text{R}$，若$ \frac{{2+a\text{i}}}{{2\text{i}}}=1-b\text{i}$，则$ \displaystyle a\cdot b=$（       ）

A．$ -2$                  B．$ -1$                  C．1                           D．2

2．已知向量$ \overrightarrow{a}=\left( {m+1,m-1} \right)$，$ \displaystyle \overrightarrow{b}=\left( {-1,m} \right)$，$ \overrightarrow{c}=\left( {-1,1} \right)$，若$ \left( {2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}} \right)\bot \overrightarrow{c}$，则$ m=$（       ）

A．$ \frac{1}{3}$                                 B．3                           C．$ \frac{1}{5}$       D．5

3．设$ \displaystyle \vartriangle ABC$的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$ {{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{a}^{2}}-ca$，且$ \displaystyle \sin A=2\sin C$，则$ \displaystyle \vartriangle ABC$的形状为（       ）

A．锐角三角形                                              B．直角三角形

C．钝角三角形                                              D．等腰三角形

4．已知复数$ z=\frac{{{{{\left( {1+2\text{i}} \right)}}^{2}}}}{\text{i}}$（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限                                                 B．第二象限

C．第三象限                                                  D．第四象限

5．已知点$ \displaystyle A\left( {\sqrt{3},\sqrt{2}} \right)$，$ \displaystyle B\left( {\sqrt{2},\sqrt{3}} \right)$，则与向量$ \overrightarrow{{AB}}$同方向的单位向量为（       ）

A．$ \displaystyle \left( {\frac{{\sqrt{2}}}{2},-\frac{{\sqrt{2}}}{2}} \right)$                                                                     B．$ \left( {-1,1} \right)$

C．$ \left( {\sqrt{2}-\sqrt{3},\sqrt{3}-\sqrt{2}} \right)$      D．$ \left( {-\frac{{\sqrt{2}}}{2}\text{,}\frac{{\sqrt{2}}}{2}} \right)$

6．已知$ \displaystyle \alpha $为锐角，$ \sin \left( {\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}-\alpha } \right)=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，则$ \displaystyle \cos \alpha =$（       ）

A．$ \frac{{\sqrt{6}+3\sqrt{3}}}{6}$      B．$ \frac{{\sqrt{6}-3\sqrt{3}}}{6}$

C．$ \frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{6}$      D．$ \frac{{\sqrt{3}-3\sqrt{2}}}{6}$

7．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则这个圆台的侧面积为（       ）

A．32π                        B．48π                        C．64π                        D．80π

8．点M在边长为4的正△ABC内（包括边界），满足$ \overrightarrow{{CM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{CA}}+\lambda \overrightarrow{{CB}}\left( {\lambda \in \text{R}} \right)$，则$ \overrightarrow{{CA}}\cdot \overrightarrow{{BM}}$的取值范围是（       ）

A．$ \displaystyle \left[ {-4,4} \right]$                     B．$ \displaystyle \left[ {0,4} \right]$                  C．$ \displaystyle \left[ {0,6} \right]$    D．$ \displaystyle \left[ {-6,6} \right]$

9．三棱锥$ A-BCD$中，$ \displaystyle AC\bot $平面$ \displaystyle BCD$，$ \displaystyle BD\bot CD$.若$ AB=4$，$ BD=2$，则该三棱锥体积的最大值为（       ）

A．$ \frac{{16}}{3}$                          B．$ \displaystyle 4$     C．$ \displaystyle \frac{8}{3}$        D．$ 2$

10．在直三棱柱$ ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$中，$ AB\bot BC$，$ \displaystyle AB=BC=A{{A}_{1}}=4$，点P为$ {{B}_{1}}{{C}_{1}}$的中点，则四面体PABC的外接球的体积为（       ）

A．.$ \displaystyle \frac{{41\sqrt{{41}}}}{6}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$                                   B．$ \frac{{41\sqrt{{41}}}}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$                                   C．$ \frac{{41\sqrt{{41}}}}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$                                   D．$ 41\sqrt{{41}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

11．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\sin \left( {2x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}} \right)$，则（       ）

A．函数$ \displaystyle f\left( {x+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{{12}}} \right)$为奇函数

B．函数$ f\left( x \right)$在$ \displaystyle \left[ {\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6},\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}} \right]$上单调递增

C．将函数$ f\left( x \right)$的图象向右平移$ \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$个单位长度得到函数$ \displaystyle y=-\cos 2x$的图象

D．函数$ f\left( x \right)$在$ \displaystyle \left[ {\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3},\frac{{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{3}} \right]$上的最小值为－1

12．在正四面体$ \displaystyle ABCD$中，$ \displaystyle E$、$ F$、$ \displaystyle G$、$ H$分别是棱$ AB$，$ \displaystyle BC$，$ CD$，$ \displaystyle AD$的中点，则（       ）

A．$ HE//$平面$ \displaystyle BCD$      B．$ AC\bot BD$

C．$ AB\bot $平面$ \displaystyle FGH$       D． $ \displaystyle E$、$ F$、$ \displaystyle G$、$ H$四点共面

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（       ）

A．若$ \sin A>\sin B$，则$ A>B$

B．若$ \displaystyle {{\sin }^{2}}B+{{\sin }^{2}}C<{{\sin }^{2}}A$，则△ABC是钝角三角形

C．若$ B=\frac{{2\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{3}$，$ \displaystyle b=6$，则△ABC面积的最大值是$ \displaystyle 3\sqrt{3}$

D．若$ \sin 2A=\sin 2B$，则△ABC为直角三角形

14．已知正方体$ ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$的棱长为4，点E，F，M分别是BC，$ \displaystyle A{{A}_{1}}$，$ \displaystyle B{{B}_{1}}$的中点，则（       ）

A．直线$ \displaystyle {{A}_{1}}D$，EF是异面直线     B．四面体$ {{A}_{1}}{{C}_{1}}BD$的外接球表面积为$ \displaystyle 48\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$

C．三棱锥$ \displaystyle A-M{{C}_{1}}{{D}_{1}}$的体积为$ \frac{{16\sqrt{2}}}{3}$                                                                     D．平面$ \displaystyle DM{{C}_{1}}$截正方体所得截面的面积为18

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）

15．已知复数z满足$ \displaystyle z\left( {2-\text{i}} \right)=10\text{i}$，其中i为虚数单位，则复数z的模为_____________.

16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$ \displaystyle b=9$，$ a=2c$，$ \displaystyle B=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$，则△ABC的周长为_____________.

17．已知点M在直线BC上，点A在直线BC外，若$ \displaystyle \left| {\overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AC}}} \right|=\left| {\overrightarrow{{AB}}-\overrightarrow{{AC}}} \right|$，且$ \left| {\overrightarrow{{AB}}} \right|=4$，$ \left| {\overrightarrow{{AC}}} \right|=3$，则$ \displaystyle \left| {\overrightarrow{{AM}}} \right|$的最小值为_____________.

18．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若$ \displaystyle b=2\sqrt{3}$，且满足$ \frac{{\sqrt{3}\sin A\sin C}}{{\tan B}}+{{\sin }^{2}}B={{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}C$，则$ \displaystyle a+c$的取值范围为_____________.

四、解答题：（共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19．已知$ \displaystyle \left| {\overrightarrow{a}} \right|=4$，$ \displaystyle \left| {\overrightarrow{b}} \right|=2$，且$ \displaystyle \overrightarrow{a}$与$ \displaystyle \overrightarrow{b}$夹角为$ {{120}^{\circ }}$，求：

(1)$ \displaystyle \left| {3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}} \right|$；

(2)$ \displaystyle \overrightarrow{a}$与$ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值.

20．从①$ \displaystyle \left( {4{{a}^{2}}-2ac} \right)\cos B+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$；②$ \displaystyle \left( {a+b+c} \right)\left( {\sin A+\sin C-\sin B} \right)=3a\sin C$；③$ a+a\cos B=\sqrt{3}$$ b\sin A$，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且             .

(1)求角B的大小；

(2)若$ \displaystyle b=2\sqrt{3}$，$ a=2$，求△ABC的面积.

21．如图，在直三棱柱$ ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$中，$ AC\bot BC$，$ AC=BC=C{{C}_{1}}$，点$ \displaystyle D$是$ AB$的中点.求证：

(1)$ A{{C}_{1}}\text{//}$平面$ \displaystyle {{B}_{1}}CD$；

(2)$ {{A}_{1}}B\bot {{B}_{1}}C$.

22．已知向量$ \displaystyle \overrightarrow{m}=\left( {\cos x,1} \right)$，$ \displaystyle \overrightarrow{n}=\left( {\sqrt{3}\sin x,{{{\cos }}^{2}}x} \right)$，且函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}$.

(1)求函数$ f\left( x \right)$的单调递增区间；

(2)若在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，$ \displaystyle \left( {2a-c} \right)\cos B=b\cos C$，求$ f\left( {\frac{A}{2}} \right)$的取值范围.

23．某地在路边安装路灯，灯柱$ AB$与地面垂直，满足$ \angle BAD={{90}^{\circ }}$，灯杆$ \displaystyle BC$与灯柱$ AB$所在平面与道路垂直，且$ \displaystyle \angle ABC={{120}^{\circ }}$，路灯$ \displaystyle C$采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知$ \displaystyle \angle ACD={{60}^{\circ }}$，路宽$ \displaystyle AD=15$，单位为$ \text{m}$.$ \angle ACB=\theta $，$ \displaystyle {{30}^{\circ }}\le \theta \le {{45}^{\circ }}$.

(1)当$ \displaystyle \theta ={{30}^{\circ }}$时，求四边形$ \displaystyle ABCD$的面积；

(2)若灯杆$ \displaystyle BC$与灯柱$ AB$所用材料相同，记此用料长度和为$ S$，求$ S$关于$ \displaystyle \theta $的函数表达式，并求出$ S$的最小值.