2023年宝鸡市高考模拟检测（二）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.

3. 所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．设集合$ M=\left\{ {x\left| {-4<x<0} \right.} \right\}$，$ N=\left\{ {x\left| {{{x}^{2}}<4} \right.} \right\}$，则$ M\cup N=$（       ）

A．$ \left\{ {\left. x \right|-2<x<0} \right\}$    B．$ \left\{ {\left. x \right|-2<x<2} \right\}$

C．$ \left\{ {\left. x \right|-4<x<4} \right\}$     D．$ \left\{ {\left. x \right|-4<x<2} \right\}$

2．设$ \displaystyle {{z}_{1}}$，$ {{z}_{2}}$为复数，则下列说法正确的为（       ）

A．若$ \displaystyle {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}=0$，则$ \displaystyle {{z}_{1}}={{z}_{2}}=0$

B．若$ \displaystyle \left| {{{z}_{1}}} \right|=\left| {{{z}_{2}}} \right|$，则$ \displaystyle {{z}_{1}}$，$ {{z}_{2}}$互为共轭复数

C．若$ a\in \mathbf{R}$，$ \mathrm{i}$为虚数单位，则$ \displaystyle \left( {a+1} \right)\text{i}$为纯虚数

D．若$ {{z}_{2}}\ne 0$，则$ \displaystyle \left| {\frac{{{{z}_{1}}}}{{{{z}_{2}}}}} \right|=\frac{{\left| {{{z}_{1}}} \right|}}{{\left| {{{z}_{2}}} \right|}}$

3．直线l：$ x\cos \alpha +y\sin \alpha =1\left( {\alpha \in \mathbf{R}} \right)$与曲线C：$ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$的交点个数为（       ）

A．0                           B．1                           C．2                           D．无法确定

4．我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），记大正方形和小正方形的面积分别为$ {{S}_{1}}$和$ {{S}_{2}}$，若$ \displaystyle \frac{{{{S}_{1}}}}{{{{S}_{2}}}}=5$，则直角三角形的勾（较短的直角边）与股（较长的直角边）的比值为（       ）

A．$ \displaystyle \frac{1}{2}$   B．$ \frac{1}{3}$      C．$ \frac{2}{3}$                                   D．$ \frac{2}{5}$

5．设a，$ \displaystyle b\in \text{R}$，则“$ \displaystyle a+b\ge 2$”是“$ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2$”的（       ）

A．充要条件               B．必要不充分条件    C．充分不必要条件     D．既不充分也不必要条件

6．$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，$ AB=5$，$ AC=7$，D为BC的中点，$ AD=5$，则$ \displaystyle BC=$（       ）

A．$ \displaystyle 2\sqrt{3}$       B．$ 4\sqrt{3}$  C．$ 2\sqrt{2}$    D．$ 4\sqrt{2}$

7．已知抛物线C：$ \displaystyle {{x}^{2}}=2py$$ \displaystyle \left( {p>0} \right)$的焦点为F，$ M\left( {{{x}_{0}},{{y}_{0}}} \right)$为C上一动点，曲线C在点M处的切线交y轴于N点，若$ \angle FMN=30{}^\circ $，则$ \displaystyle \angle FNM=$（       ）

A．$ \displaystyle 60{}^\circ $   B．$ \displaystyle 45{}^\circ $     C．$ 30{}^\circ $                                   D．$ 15{}^\circ $

8．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\lg x+\lg \left( {2-x} \right)$，则（       ）

A．$ f\left( x \right)$在$ \displaystyle \left( {0,1} \right)$单调递减，在$ \left( {1,2} \right)$单调递增                                      B．$ f\left( x \right)$在$ \left( {0,2} \right)$单调递减

C．$ f\left( x \right)$的图像关于直线$ x=1$对称       D．$ f\left( x \right)$有最小值，但无最大值

9．设m，$ n\in \left\{ {-2,-1,0,1,2,3} \right\}$，曲线C：$ m{{x}^{2}}+n{{y}^{2}}=1$，则下列说法正确的为（       ）

A．曲线C表示双曲线的概率为$ \frac{1}{5}$     B．曲线C表示椭圆的概率为$ \displaystyle \frac{1}{6}$

C．曲线C表示圆的概率为$ \displaystyle \frac{1}{{10}}$    D．曲线C表示两条直线的概率为$ \frac{1}{5}$

10．点$ \displaystyle P\left( {x,y} \right)$在不等式组$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge 0} \\ {x-2y\le 0} \\ {x+y-3\le 0} \end{array}} \right.$表示的平面区域上，则$ xy$的最大值为（       ）

A．$ \frac{9}{4}$                                 B．2                           C．$ \displaystyle \frac{8}{3}$                                   D．3

11．四棱锥$ \displaystyle P-ABCD$中，底面ABCD为边长为4的正方形，$ \displaystyle \angle PBA=\angle PBC$，$ PD\bot AD$，Q为正方形ABCD内一动点且满足$ \displaystyle QA\bot QP$，若$ \displaystyle PD=2$，则三棱锥$ \displaystyle Q-PBC$的体积的最小值为（       ）

A．3                           B．$ \displaystyle \frac{8}{3}$   C．$ \displaystyle \frac{4}{3}$                                   D．2

12．已知正实数x，y，z满足$ \displaystyle {{\log }_{2}}x={{\log }_{3}}y={{\log }_{5}}z\ne 0$，给出下列4个命题：

①$ x<y<z$；

②x，y，z的方程$ \displaystyle x+y=z$有且只有一组解；

③x，y，z可能构成等差数列；

④x，y，z不可能构成等比数列

其中所有真命题的个数为（       ）

A．1                           B．2                           C．3                           D．4

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．若a，b，c，d为实数，且$ \displaystyle \left| {\begin{array}{*{20}{l}} a & c \\ b & d \end{array}} \right|=ad-bc$，定义函数$ \displaystyle f(x)=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x} & {\sqrt{3}\cos x} \\ {2\cos x} & {2\cos x} \end{array}} \right|$，现将$ f\left( x \right)$的图像先向左平移$ \displaystyle \frac{{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{{12}}$个单位，再向上平移$ \sqrt{3}$个单位后得到函数$ g\left( x \right)$的图像，则$ g\left( x \right)$的解析式为______.

14．已知非零向量$ \displaystyle \overrightarrow{a}$，$ \displaystyle \overrightarrow{b}$，$ \overrightarrow{c}$满足$ \left| {\overrightarrow{a}} \right|=\left| {\overrightarrow{b}} \right|=\left| {\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}} \right|=1$且$ \displaystyle \left| {\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}} \right|=1$，则$ \displaystyle \left| {\overrightarrow{c}} \right|$的取值范围是______.

15．若函数$ f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}-{{\text{e}}^{{-x}}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-ax$无极值点，则实数a的取值范围是______.

16．如图，已知正四面体EFGH和正四棱锥$ \displaystyle P-ABCD$的所有棱长都相等，现将正四面体EFGH的侧面EGH与正四棱锥$ \displaystyle P-ABCD$的侧面PAB重合（P，E重合；A，H重合；B，G重合）后拼接成一个新的几何体，对于新几何体，下列说法正确的有______

①$ \displaystyle PF\bot CD$

②PF与BC异面

③新几何体为三棱柱

④新几何体的6个顶点不可能在同一个球面上

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17．成都作为常住人口超$ \displaystyle 2000$万的超大城市，注册青年志愿者人数超$ \displaystyle 114$万，志愿服务时长超$ \displaystyle 268$万小时.$ 2022$年$ \displaystyle 6$月，成都$ \displaystyle 22$个市级部门联合启动了$ 2022$年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到$ \displaystyle 331$个主体的$ \displaystyle 416$个志愿服务项目，覆盖文明实践､社区治理与邻里守望､环境保护等$ 13$大领域.已知某领域共有$ 50$支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成$ \displaystyle 6$组：$ \left[ {40,50} \right),\left[ {50,60} \right),\cdots ,\left[ {90,100} \right]$，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中$ \displaystyle m$的值；

(2)从评分不低于$ \displaystyle 80$分的队伍中随机选取$ 3$支队伍，该$ 3$支队伍中评分不低于$ \displaystyle 90$分的队伍数为$ \displaystyle X$，求随机变量$ \displaystyle X$的分布列和期望.

18．如图，在四棱锥$ \displaystyle P-ABCD$中，$ \displaystyle PD\bot $底面$ \displaystyle ABCD,AB$$ DC,CD=2AB=2AD=2,PD=4,AD\bot CD,E$为棱$ PD$上一点.

(1)求证：无论点$ \displaystyle E$在棱$ PD$的任何位置，都有$ \displaystyle CD\bot AE$成立；

(2)若$ \displaystyle E$为$ PD$中点，求二面角$ \displaystyle A-EC-P$的余弦值.

19．已知函数$ f(x)={{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{x}}$，等比数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前n项和为$ f\left( n \right)-c$，数列$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$$ \displaystyle \left( {{{b}_{n}}>0} \right)$的首项为c，且前n项和$ {{S}_{n}}$满足$ \displaystyle {{S}_{n}}-{{S}_{{n-1}}}=\sqrt{{{{S}_{n}}}}+\sqrt{{{{S}_{{n-1}}}}}$$ (n\ge 2)$.

(1)求数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$和$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$的通项公式；

(2)若数列$ \left\{ {\frac{1}{{{{b}_{n}}{{b}_{{n+1}}}}}} \right\}$前n项和为$ {{T}_{n}}$，求使$ \displaystyle {{T}_{n}}>\frac{{1010}}{{2023}}$的最小正整数n.

20．已知椭圆$ {{C}_{1}}$：$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>b>0} \right)$，$ F$为左焦点，$ A$为上顶点，$ B\left( {2,0} \right)$为右顶点，若$ \sqrt{7}\left| {\overrightarrow{{AF}}} \right|=2\left| {\overrightarrow{{AB}}} \right|$，抛物线$ {{C}_{2}}$的顶点在坐标原点，焦点为$ F$.

（1）求$ {{C}_{1}}$的标准方程；

（2）是否存在过$ F$点的直线，与$ {{C}_{1}}$和$ {{C}_{2}}$的交点分别是$ P$，$ Q$和$ M$，$ \displaystyle N$使得$ \displaystyle {{S}_{{\vartriangle OPQ}}}=\frac{1}{2}{{S}_{{\vartriangle OMN}}}$？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

21．已知函数$ f\left( x \right)=x\ln x+\frac{a}{2}{{x}^{2}}-x\left( {a\in \text{R}} \right)$，且f（x）在$ \left( {0,+\infty } \right)$内有两个极值点$ {{x}_{1}},{{x}_{2}}$（$ {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$）．

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：$ a+\frac{2}{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}<0$．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

（选修4-4：坐标系与参数方程）

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=2t-\frac{1}{{6t}}} \\ {y=2t+\frac{1}{{6t}}} \end{array}} \right.$（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$ \displaystyle \rho \cos \left( {\theta +\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}} \right)=1$.

(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

(2)已知点$ \displaystyle M\left( {2,0} \right)$，若直线l与曲线C交于P，Q两点，求$ \displaystyle \left| {\left| {PM} \right|-\left| {QM} \right|} \right|$.

（选修4-5：不等式选讲）

23．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\left| {x-1} \right|+\left| {x+1} \right|$.

（1）求不等式$ \displaystyle f\left( x \right)<3$的解集；

（2）若二次函数$ \displaystyle y=-{{x}^{2}}-2x+m$与函数$ \displaystyle y=f\left( x \right)$的图象恒有公共点，求实数$ \displaystyle m$的取值范围.