模考真题：铜川市2023年高三第二次质量检测 理科数学
铜川市2023年高三第二次质量检测
理科数学
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔将答案涂在答题卡上.第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm黑色签字笔将答案答在答题卡上，考试结束后，只收答题卡.
2.答第Ⅰ卷、第Ⅱ卷时，先将答题卡首有关项目填写清楚.
3.全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．若全集，$ \displaystyle A=\left\{ {1,2} \right\}$，$ B=\left\{ {2,3} \right\}$，则$ \displaystyle \left( {{{\complement }_{U}}A} \right)\bigcap B=$（ ）.
A．$ \left\{ 2 \right\}$ B．$ \displaystyle \left\{ 3 \right\}$ C．$ \displaystyle \left\{ 4 \right\}$ D．$ \displaystyle \left\{ {2,3,4} \right\}$
2．已知复数$ \displaystyle {{z}_{1}}$，$ {{z}_{2}}$满足$ \displaystyle \left| {{{z}_{1}}} \right|=3$，$ \displaystyle {{z}_{2}}=2+\text{i}$，则$ \left| {{{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}} \right|=$（ ）
A．$ \displaystyle 3\sqrt{3}$ B．$ 2\sqrt{6}$ C．$ \displaystyle 3\sqrt{5}$ D．6
3．执行下面的程序框图，则输出S的值为（ ）
A．$ \sqrt{{2020}}-1$ B．$ \displaystyle \sqrt{{2021}}-1$ C．$ \displaystyle \sqrt{{2022}}-1$ D．$ \sqrt{{2023}}-1$
4．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1=p2 B．p1=p3
C．p2=p3 D．p1=p2+p3
5．命题：“$ \displaystyle \forall x>0$，$ {{x}^{2}}-x+1\le 0$”的否定是（ ）
A．$ \displaystyle \exists x>0$，$ {{x}^{2}}-x+1\le 0$ B．$ \displaystyle \exists x>0$，$ \displaystyle {{x}^{2}}-x+1>0$
C．$ \displaystyle \forall x>0$，$ \displaystyle {{x}^{2}}-x+1>0$ D．$ \displaystyle \forall x\le 0$，$ \displaystyle {{x}^{2}}-x+1>0$
6．已知$ \displaystyle {{\log }_{2}}a={{0.5}^{a}}={{0.2}^{b}}$，则（ ）
A．$ \displaystyle a<1<b$ B．$ \displaystyle 1<a<b$
C．$ \displaystyle b<1<a$ D．$ \displaystyle 1<b<a$
7．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为$ 3$，方差为$ 5$，乙组数据的平均数为$ 5$，方差为$ 3$．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A．$ 3.5$ B．$ \displaystyle 4$ C．$ 4.5$ D．$ 5$
8．等比数列$ \displaystyle \{{{a}_{n}}\}$满足$ \displaystyle {{a}_{2}}+8{{a}_{5}}=0$，设数列$ \{\frac{1}{{{{a}_{n}}}}\}$的前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$，则$ \displaystyle \frac{{{{S}_{5}}}}{{{{S}_{2}}}}$=（ ）
A．$ -11$ B．$ -\text{8}$ C．5 D．11
9．如图，在$ \displaystyle \Delta ABC$的边$ AB$、$ AC$上分别取点$ M$、$ \displaystyle N$，使，，$ \displaystyle BN$与$ \displaystyle CM$交于点$ P$，若，，则$ \displaystyle \frac{\lambda }{\mu }$的值为
A．$ \displaystyle \frac{8}{3}$ B．$ \frac{3}{8}$ C．$ \displaystyle \frac{1}{6}$ D．$ \displaystyle 6$
10．已知$ {{F}_{1}}$，$ {{F}_{2}}$分别是双曲线$ C:\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>0,b>0} \right)$的左、右焦点，直线l经过$ {{F}_{1}}$且与C左支交于P，Q两点，P在以$ {{F}_{1}}{{F}_{2}}$为直径的圆上，$ \displaystyle \left| {PQ} \right|:\left| {P{{F}_{2}}} \right|=3:4$，则C的离心率是（ ）
A．$ \displaystyle \frac{{\sqrt{{17}}}}{3}$ B．$ \displaystyle \frac{{2\sqrt{{17}}}}{3}$ C．$ \displaystyle \frac{{2\sqrt{{15}}}}{3}$ D．$ \frac{{\sqrt{{15}}}}{3}$
11．已知函数$ \displaystyle f(x)=A\sin \left( {\omega x+\varphi } \right)$$ \displaystyle \left( {A>0,\varphi >0,|\varphi |<\frac{\pi }{2}} \right)$在一个周期内的函数图像如图所示．若方程$ \displaystyle f\left( x \right)=m$在区间$ \displaystyle [0,\pi ]$有两个不同的实数解$ \displaystyle {{x}_{1}}$，$ \displaystyle {{x}_{2}}$，则$ \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=$
A．$ \displaystyle \frac{\pi }{3}$ B．$ \frac{{2\pi }}{3}$ C．$ \frac{{4\pi }}{3}$ D．$ \displaystyle \frac{\pi }{3}$或$ \frac{{4\pi }}{3}$
12．在四棱锥$ \displaystyle P-ABCD$中，底面$ \displaystyle ABCD$为菱形，$ \displaystyle \angle ABC=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$，$ PA\bot $平面$ \displaystyle ABCD$，$ \displaystyle PA=AB=2$，$ \displaystyle E$为线段$ PB$的中点，$ F$为线段$ \displaystyle BC$上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．平面$ AEF\bot $平面$ PBC$ B．三棱锥$ C-PED$的体积为$ \frac{{\sqrt{3}}}{3}$
C．$ \displaystyle EF$与平面$ \displaystyle ABCD$所成角的最小值为$ \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$ D．$ \displaystyle AE$与$ \displaystyle PC$所成角的余弦值为$ \frac{1}{4}$
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．将四大名著各分一本给甲、乙、丙、丁四人就读，A、$ B$、$ \displaystyle C$、$ \displaystyle D$四位旁观者预测分配结果，A说：“甲读《西游记》，乙读《红楼梦》”；$ B$说：“甲读《水浒传》，丙读《三国演义》”；$ \displaystyle C$说：“乙读《水浒传》，丙读《西游记》”；$ \displaystyle D$说：“乙读《西游记》，丁读《三国演义》”.若已知四位旁观者每人预测的两句话中，都是有且只有一句是真的，则可推断丁读的名著是______.
14．已知函数$ f\left( x \right)=\cos \left( {x+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}} \right)\cos \left( {x+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}} \right)$，若$ \displaystyle x\in \left[ {-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4},\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}} \right]$，则函数$ f\left( x \right)$的值域为______.
15．已知数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$，且点$ \displaystyle \left( {{{a}_{n}},{{S}_{n}}} \right)$总在直线$ y=2x-1$上，则数列$ \displaystyle \left\{ {n\cdot {{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和$ \displaystyle {{T}_{n}}=$______.
16．已知椭圆$ \displaystyle C:\frac{{{{x}^{2}}}}{8}+\frac{{{{y}^{2}}}}{4}=1$的左、右焦点分别为$ {{F}_{1}}$，$ {{F}_{2}}$，直线$ y=t\left( {t\in \left( {0,2} \right)} \right)$与椭圆$ \displaystyle C$交于$ A$，$ B$两点（其中点$ A$在点$ B$的左侧），记$ \displaystyle \vartriangle AB{{F}_{1}}$面积为$ S$，则下列四个结论正确的是______.
①$ \left| {{{F}_{1}}A} \right|+\left| {{{F}_{1}}B} \right|=4\sqrt{2}$ ②$ \displaystyle A{{F}_{1}}\bot B{{F}_{1}}$时，$ \displaystyle t=\sqrt{3}$
③$ S$的最大值为$ 2\sqrt{2}$ ④当$ \angle {{F}_{1}}A{{F}_{2}}=\frac{\pi }{3}$时，点$ A$的横坐标为$ \displaystyle -\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
（一）必考题（共60分）
17．在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，角$ \displaystyle A,B,C$所对的边分别为$ a,b,c$，$ \frac{1}{{\tan A}}+\frac{1}{{\tan C}}=\frac{1}{{\sin B}}$.
(1)证明：$ \displaystyle {{b}^{2}}=ac$；
(2)若$ b=2$，当角$ B$取得最大值时，求$ \displaystyle \vartriangle ABC$的面积.
18．如图，在斜三棱柱$ \displaystyle ABC-DEF$中，底面ABC是边长为2的正三角形，$ \displaystyle BD=CD=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，侧棱AD与底面ABC所成角为60°．
(1)求证：四边形BCFE为矩形；
(2)求平面DBC与平面BCFE夹角的余弦值．
19．为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，铜川市推出了两套方案，并分别在$ A$、$ B$两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.并建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：$ \displaystyle \left[ {40,50} \right)$，$ \displaystyle \left[ {50,60} \right)$，$ \displaystyle \left[ {60,70} \right)$，$ \displaystyle \left[ {70,80} \right)$，$ \displaystyle \left[ {80,90} \right)$，$ \displaystyle \left[ {90,100} \right)$，并整理得到如图所示的频率分布直方图：
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
(2)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案，低于70分认为居民不赞成推行此方案，规定小区居民赞成率不低于$ \displaystyle 70\%$才可在该小区继续推行该方案，判断两小区哪个小区可继续推行方案？
(3)根据（2）中结果，从可继续推行方案的小区内随机抽取5个人，用$ \displaystyle X$表示赞成该小区推行方案的人数，求$ \displaystyle X$的分布列及数学期望.
20．已知点F为抛物线E：$ \displaystyle {{y}^{2}}=2px$（$ p>0$）的焦点，点P（−3，2），$ \displaystyle \left| {PF} \right|=2\sqrt{5}$，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)求证：直线BC过定点；
(3)若直线BC所过定点为点Q，△QAB，△PBC的面积分别为S1，S2，求$ \frac{{{{S}_{1}}}}{{{{S}_{2}}}}$的取值范围
21．已知函数$ f(x)=a{{\text{e}}^{x}}-\ln (x+2)+\ln a-2$．
(1)若函数$ f\left( x \right)$在$ \displaystyle x=2023$处取得极值，求$ \displaystyle a$的值及函数的单调区间；
(2)若函数$ f\left( x \right)$有两个零点，求$ \displaystyle a$的取值范围．
（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
22．在直角坐标系$ xOy$中，直线$ \displaystyle l$的参数方程为$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=4-\sqrt{2}t} \\ {y=4+\sqrt{2}t} \end{array}} \right.$（$ \displaystyle t$为参数）,以坐标原点$ O$为极点，$ x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$ \displaystyle C$的极坐标方程为$ \displaystyle \rho =8\sin \theta $，$ A$为曲线$ \displaystyle C$上一点.
(1)求$ A$到直线$ \displaystyle l$距离的最大值；
(2)若$ B$为直线$ \displaystyle l$与曲线$ \displaystyle C$第一象限的交点，且$ \displaystyle \angle AOB=\frac{{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{{12}}$，求$ \displaystyle \vartriangle AOB$的面积.
23．设函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\left| {2x-2} \right|+\left| {x+2} \right|$．
(1)解不等式$ f\left( x \right)\le 6-x$；
(2)令$ f\left( x \right)$的最小值为T，正数$ a,b,c$满足$ \displaystyle a+b+c=T$，证明：$ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge \frac{{16}}{3}$．