铜川市2023年高三第二次质量检测

文科数学

注意事项：

1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔将答案涂在答题卡上.第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm黑色签字笔将答案答在答题卡上，考试结束后，只收答题卡.

2.答第Ⅰ卷、第Ⅱ卷时，先将答题卡首有关项目填写清楚.

3.全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题   共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．若全集，$ \displaystyle A=\left\{ {1,2} \right\}$，$ B=\left\{ {2,3} \right\}$，则$ \displaystyle \left( {{{\complement }_{U}}A} \right)\bigcap B=$（       ）.

A．$ \left\{ 2 \right\}$                       B．$ \displaystyle \left\{ 3 \right\}$                                   C．$ \displaystyle \left\{ 4 \right\}$ D．$ \displaystyle \left\{ {2,3,4} \right\}$

2．已知复数$ \displaystyle {{z}_{1}}$，$ {{z}_{2}}$满足$ \displaystyle \left| {{{z}_{1}}} \right|=3$，$ \displaystyle {{z}_{2}}=2+\text{i}$，则$ \left| {{{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}} \right|=$（       ）

A．$ \displaystyle 3\sqrt{3}$       B．$ 2\sqrt{6}$  C．$ \displaystyle 3\sqrt{5}$  D．6

3．执行下面的程序框图，则输出S的值为（       ）

A．$ \sqrt{{2020}}-1$                       B．$ \displaystyle \sqrt{{2021}}-1$                                   C．$ \displaystyle \sqrt{{2022}}-1$ D．$ \sqrt{{2023}}-1$

4．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则

A．p1=p2                                                       B．p1=p3

C．p2=p3                                                        D．p1=p2+p3

5．已知$ \displaystyle {{\log }_{2}}a={{0.5}^{a}}={{0.2}^{b}}$，则（       ）

A．$ \displaystyle a<1<b$             B．$ \displaystyle 1<a<b$

C．$ \displaystyle b<1<a$             D．$ \displaystyle 1<b<a$

6．设向量$ \displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$满足$ \left| {\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}} \right|=\sqrt{{10}}$， $ \left| {\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}} \right|=\sqrt{6}$，则$ \displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$=

A．1                           B．2                           C．3                           D．5

7．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为$ 3$，方差为$ 5$，乙组数据的平均数为$ 5$，方差为$ 3$．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（       ）

A．$ 3.5$               B．$ \displaystyle 4$                         C．$ 4.5$   D．$ 5$

8．在三棱锥$ P-ABC$中，$ \displaystyle PA\bot AC$，$ \displaystyle BC\bot AC$，且$ PA=\sqrt{3}$，$ \displaystyle AC=1$，$ BC=2$，$ \displaystyle PB=2\sqrt{2}$，则三棱锥$ P-ABC$的外接球的表面积为（       ）

A．$ \frac{{8\sqrt{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{3}$   B．$ \displaystyle 4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$              C．$ \displaystyle 8\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$                                   D．$ \displaystyle 16\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$

9．等比数列$ \displaystyle \{{{a}_{n}}\}$满足$ \displaystyle {{a}_{2}}+8{{a}_{5}}=0$，设数列$ \{\frac{1}{{{{a}_{n}}}}\}$的前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$，则$ \displaystyle \frac{{{{S}_{5}}}}{{{{S}_{2}}}}$=（       ）

A．$ -11$               B．$ -\text{8}$    C．5                           D．11

10．已知函数$ f\left( x \right)$的图象如图所示，则$ f\left( x \right)$的解析式可以为（       ）

A．$ \displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{4}}}}{{{{\text{e}}^{x}}+{{\text{e}}^{{-x}}}}}$                                                                     B．$ \displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{3}}}}{{{{\text{e}}^{x}}+{{\text{e}}^{{-x}}}}}$

C．$ \displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{\text{e}}^{x}}+{{\text{e}}^{{-x}}}}}$                                                                     D．$ \displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{4}}}}{{{{\text{e}}^{x}}-{{\text{e}}^{{-x}}}}}$

11．已知函数$ f\left( x \right)=\text{cos}\left( {x+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}} \right)\text{cos}\left( {x+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}} \right)$，则下列说法正确的是（       ）

A．点$ \left( {-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{8},0} \right)$是曲线$ \displaystyle y=f\left( x \right)$的对称中心

B．点$ \displaystyle \left( {\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{8},\frac{{\sqrt{2}}}{4}} \right)$是曲线$ \displaystyle y=f\left( x \right)$的对称中心

C．直线$ x=\frac{{5\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{8}$是曲线$ \displaystyle y=f\left( x \right)$的对称轴

D．直线$ \displaystyle x=\frac{{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{8}$是曲线$ \displaystyle y=f\left( x \right)$的对称轴

12．已知椭圆$ \displaystyle C:\frac{{{{x}^{2}}}}{8}+\frac{{{{y}^{2}}}}{4}=1$的左、右焦点分别为$ {{F}_{1}}$，$ {{F}_{2}}$，直线$ y=t\left( {t\in \left( {0,2} \right)} \right)$与椭圆$ \displaystyle C$交于$ A$，$ B$两点（其中点$ A$在点$ B$的左侧），记$ \displaystyle \vartriangle AB{{F}_{1}}$面积为$ S$，则下列结论错误的是（       ）

A．$ \left| {{{F}_{1}}A} \right|+\left| {{{F}_{1}}B} \right|=4\sqrt{2}$                                                                     B．$ \displaystyle A{{F}_{1}}\bot B{{F}_{1}}$时，$ \displaystyle t=\sqrt{3}$

C．$ S$的最大值为$ 2\sqrt{2}$          D．当$ \angle {{F}_{1}}A{{F}_{2}}=\frac{\pi }{3}$时，点$ A$的横坐标为$ \displaystyle -\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．将四大名著各分一本给甲、乙、丙、丁四人就读，A、$ B$、$ \displaystyle C$、$ \displaystyle D$四位旁观者预测分配结果，A说：“甲读《西游记》，乙读《红楼梦》”；$ B$说：“甲读《水浒传》，丙读《三国演义》”；$ \displaystyle C$说：“乙读《水浒传》，丙读《西游记》”；$ \displaystyle D$说：“乙读《西游记》，丁读《三国演义》”.若已知四位旁观者每人预测的两句话中，都是有且只有一句是真的，则可推断丁读的名著是______.

14．已知数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$，且点$ \displaystyle \left( {{{a}_{n}},{{S}_{n}}} \right)$总在直线$ y=2x-1$上，则数列$ \displaystyle \left\{ {n\cdot {{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和$ \displaystyle {{T}_{n}}=$______.

15．已知$ {{F}_{1}}$，$ {{F}_{2}}$分别是双曲线$ C:\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>0,b>0} \right)$的左、右焦点，直线$ \displaystyle l$经过$ {{F}_{1}}$且与$ \displaystyle C$左支交于$ P$，$ Q$两点，点$ P$在以$ {{F}_{1}}{{F}_{2}}$为直径的圆上，$ \displaystyle \left| {PQ} \right|:\left| {P{{F}_{2}}} \right|=3:4$，则$ \displaystyle C$的离心率是______.

16．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-3$，$ \displaystyle g\left( x \right)=\frac{{4\ln x}}{x}$，令$ F\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left| {f\left( x \right)} \right|,x\le 1} \\ {g\left( x \right),x>1} \end{array}} \right.$，若函数$ y=F\left( x \right)-m$存在3个零点，则实数$ \displaystyle m$的取值范围是______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

（一）必考题（共60分）

17．在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，角$ \displaystyle A,B,C$所对的边分别为$ a,b,c$，$ \frac{1}{{\tan A}}+\frac{1}{{\tan C}}=\frac{1}{{\sin B}}$.

(1)证明：$ \displaystyle {{b}^{2}}=ac$；

(2)若$ b=2$，当角$ B$取得最大值时，求$ \displaystyle \vartriangle ABC$的面积.

18．如图，在斜三棱柱$ \displaystyle ABC-DEF$中，底面ABC是边长为2的正三角形，$ \displaystyle BD=CD=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，侧棱AD与底面ABC所成角为60°．

(1)求证：四边形BCFE为矩形；

(2)求平面DBC与平面BCFE夹角的余弦值．

19．为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，铜川市推出了两套方案，并分别在$ A$、$ B$两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.并建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：$ \displaystyle \left[ {40,50} \right)$，$ \displaystyle \left[ {50,60} \right)$，$ \displaystyle \left[ {60,70} \right)$，$ \displaystyle \left[ {70,80} \right)$，$ \displaystyle \left[ {80,90} \right)$，$ \displaystyle \left[ {90,100} \right)$，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；

(2)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案，低于70分认为居民不赞成推行此方案，规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案，判断两小区哪个小区可继续推行方案？

(3)根据（2）中结果，从可继续推行方案的小区所抽取100人中再按居民态度是否赞成分层抽取一8人样本作为代表团，从代表团中选取两人做汇总发言，求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.

20．已知点$ F$为抛物线$ \displaystyle E:{{y}^{2}}=2px\left( {p>0} \right)$的焦点，点$ \displaystyle P\left( {-3,2} \right)$，$ \displaystyle \left| {PF} \right|=2\sqrt{5}$，若过点$ P$作直线与抛物线$ \displaystyle E$顺次交于$ A$，$ B$两点，过点$ A$作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点$ \displaystyle C$．

(1)求抛物线$ \displaystyle E$的标准方程；

(2)求证：直线$ \displaystyle BC$过定点．

21．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\ln x+x+\frac{2}{{ax}}\left( {a\ne 0} \right)$

(1)当$ \displaystyle a=1$时，求$ f\left( x \right)$的极值；

(2)若对$ \displaystyle \forall x\in \left( {{{\text{e}}^{{-1}}}\text{,e}} \right)$，$ \displaystyle f\left( x \right)<x+2$，求实数$ \displaystyle a$的取值范围.

（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22．在平面直角坐标系$ xOy$中，以原点为极点，$ x$轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位，已知曲线$ \displaystyle C$的参数方程为$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=1+\sqrt{3}\cos \theta } \\ {y=\sqrt{3}\sin \theta } \end{array}} \right.$($ \displaystyle \theta $为参数)，直线$ \displaystyle l$的参数方程为$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=2+t\cos \alpha } \\ {y=1+t\sin \alpha } \end{array}} \right.$($ \displaystyle t$为参数，$ \displaystyle \alpha $为直线$ \displaystyle l$的倾斜角).

（1）求曲线$ \displaystyle C$的普通方程；当$ \displaystyle \alpha =\frac{\pi }{3}$时，求直线$ \displaystyle l$的极坐标方程；

（2）若曲线$ \displaystyle C$和直线$ \displaystyle l$交于$ M$，$ \displaystyle N$两点，且$ \displaystyle |MN|=\sqrt{{10}}$，求直线$ \displaystyle l$的倾斜角.

23．设函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\left| {2x-2} \right|+\left| {x+2} \right|$．

(1)解不等式$ f\left( x \right)\le 6-x$；

(2)令$ f\left( x \right)$的最小值为T，正数$ a,b,c$满足$ \displaystyle a+b+c=T$，证明：$ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge \frac{{16}}{3}$．