2023年宝鸡市高考模拟检测（三）

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．

3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知集合$ A=\left\{ {\left( {x,y} \right)\left| x \right.+y=5} \right\}$，集合$ B=\left\{ {\left( {x,y} \right)\left| x \right.-y=-1} \right\}$，则$ A\bigcap B$等于（    ）

A．$ \left\{ {2,3} \right\}$ B．$ \left\{ {\left( {2,3} \right)} \right\}$       C．$ \left\{ {x=2,y=3} \right\}$． D．$ \left( {2,3} \right)$

2．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（    ）

A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值

B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值

C．乙的六维能力指标值都优于甲的六维能力指标值

D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值

3．设i是虚数单位，复数$ \bar{z}$为复数z的共轭复数，若满足$ \left( {1-i} \right)\bar{z}=2$，则复数z在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图；则该几何体的体积为（    ）

A．32     B．16     C．$ \frac{{32}}{3}$      D．$ \frac{{80}}{3}$

5．已知命题p：$ \exists x\in R$，$ {{e}^{x}}=0.1$；命题q：直线$ {{l}_{1}}$：$ x-ay=0$与$ {{l}_{2}}$：$ 2x+ay-1=0$相互垂直的充要条件为$ a=\sqrt{2}$，则下列命题中为真命题的是（    ）

A．$ p\wedge q$      B．$ p\wedge \left( {\neg q} \right)$      C．$ \left( {\neg p} \right)\vee q$     D．$ \left( {\neg p} \right)\wedge \left( {\neg q} \right)$

6．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移$ y\left( m \right)$和时间$ t\left( s \right)$的函数关系为$ y=\si$ {{t}_{3}}\left( {0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}<{{t}_{3}}} \right)$n \left( {\omega t+\varphi } \right)$（$ \omega >0$，$ \left| \varphi  \right|<\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$），如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为$ {{t}_{1}}$，$ {{t}_{2}}$，，且$ {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2$，$ {{t}_{2}}+{{t}_{3}}=5$，则1分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的次数最多为（    ）

A．19     B．40     C．20     D．41

7．已知$ \alpha $，$ \beta $是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则结论错误的（    ）

A．$ m\bot \alpha $，$ n\bot \beta $，$ m\bot n$，则$ \alpha \bot \beta $

B．$ m\bot \alpha $，$ n\bot \beta $且$ \alpha \parallel \beta $，则$ m\parallel n$

C．$ m\bot \alpha $，$ n\bot \beta $，且$ m\parallel n$，则$ \alpha \parallel \beta $

D．$ \alpha \parallel \beta $，$ m\subset \alpha $，$ n\subset \beta $，则$ m\parallel n$

8．若$ \alpha \in \left( {0,\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right)$，且$ \sin \alpha +2\cos \alpha =2$，则$ \tan \frac{\alpha }{2}$等于（    ）

A．$ \frac{2}{3}$     B．$ \frac{3}{2}$      C．$ \frac{1}{2}$       D．$ \frac{{\sqrt{3}}}{2}$

9．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤，巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（    ）

A．$ \frac{1}{3}$     B．$ \frac{3}{{28}}$      C．$ \frac{3}{4}$      D．$ \frac{3}{{14}}$

10．设$ a=\frac{{10\left( {3-\ln 10} \right)}}{{{{e}^{3}}}}$，$ b=\frac{1}{e}$，$ c=\frac{{\ln 4}}{4}$，则a，b，c的大小顺序为（    ）

A．$ a<c<b$ B．$ c<a<b$  C．$ a<b<c$  D．$ b<a<c$

11．已知函数$ f\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,x=0} \\ {x\ln \left| x \right|,x\ne 0} \end{array}} \right.$，则下列选项正确的是（    ）

A．$ f\left( x \right)$没有极值点

B．当$ m\in \left( {-1,1} \right)$时，函数$ f\left( x \right)$图象与直线$ y=m$有三个公共点

C．直线$ y=x-1$是曲线$ y=f\left( x \right)$的切线

D．点$ \left( {1,0} \right)$是曲线$ y=f\left( x \right)$的对称中心

12．已知$ {{F}_{1}}$，$ {{F}_{2}}$分别为双曲线C：$ \frac{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}=1$（$ a>0$，$ b>0$）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为$ y=\sqrt{3}x$，且$ {{F}_{1}}$到l的距离为$ 3\sqrt{3}$，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为$ \left( {2,0} \right)$，PQ为$ \angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}$的平分线．则下列正确的是（    ）

A．双曲线的方程为$ \frac{{{{x}^{2}}}}{{27}}-\frac{{{{y}^{2}}}}{9}=1$   B．$ \left| {P{{F}_{1}}} \right|=3\left| {P{{F}_{2}}} \right|$

C．$ \left| {OP} \right|=2\sqrt{6}$          D．$ \vartriangle P{{F}_{1}}{{F}_{2}}$的面积为$ 9\sqrt{{15}}$

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知向量$ \vec{a}=\left( {1,\sqrt{2}} \right)$，$ \vec{b}=\left( {\sqrt{3},\sqrt{6}} \right)$，则平面向量$ \vec{b}$在向量$ \vec{a}$方向上的投影为________．

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中$ c=4$，且满足$ \cos C=\sin C$，$ 2\sin \left( {B+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}} \right)=c-2\sqrt{3}\cos A$，则边a等于________．

15．已知曲线$ y=a{{x}^{2}}\left( {a>0} \right)$在$ x=1$处的切线与曲线$ y={{e}^{x}}$也相切，则该切线的斜率$ k=$________．

16．如图，正方体$ ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$棱长为2，P是线段$ {{A}_{1}}D$上的一个动点，则下列结论中正确的为________．

①BP的最小值为$ \frac{{\sqrt{6}}}{2}$

②存在P点的某一位置，使得P，A，$ {{B}_{1}}$，C四点共面

③$ PA+PB$的最小值为$ \sqrt{6}+\sqrt{2}$

④以点B为球心，$ \sqrt{6}$为半径的球面与面$ {{A}_{1}}D{{C}_{1}}$的交线长为$ \frac{{2\sqrt{6}}}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17．已知等差数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前n项和为$ {{S}_{n}}$，$ {{S}_{6}}=3{{a}_{3}}+24$，且$ {{S}_{7}}$，$ \sqrt{7}{{a}_{4}}$，$ 2{{a}_{2}}$成等比数列．

（1）求$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的通项公式；

（2）设$ {{b}_{n}}=\frac{{{{S}_{n}}\cdot {{2}^{n}}}}{n}$，求数列$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$的前n项和为$ {{T}_{n}}$．

18．党的二十大以来，总书记指出，要在教育‘双减’，中做好科学教育加法，激发青少年好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体。某校从2022年起先后开发开设了机器人、航模、3D创意造型、地球探险等科技类校本课程。为调研学生对课程的满意度并不断改进科技教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程$ \hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，并预测12月份该校全体学生中对科技课程的满意人数；

（2）10月份时，该校为进一步深化科技教育改革，了解不同性别的学生对科技课程是否满意，经调研得如下统计表：请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对科技课程是否满意有关？

参考公式：$ \hat{b}=\frac{{\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{{{x}_{i}}}}{{y}_{i}}-n\bar{x}\bar{y}}}{{\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{x_{i}^{2}}}-n{{{\bar{x}}}^{2}}}}=\frac{{\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{\left( {{{x}_{i}}-\bar{x}} \right)}}\left( {{{y}_{i}}-\bar{y}} \right)}}{{\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{{{{\left( {{{x}_{i}}-\bar{x}} \right)}}^{2}}}}}}$，$ \hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$．

$ P\left( {{{K}^{2}}\ge {{k}_{0}}} \right)$
$ {{K}^{2}}=\frac{{n{{{\left( {ad-bc} \right)}}^{2}}}}{{\left( {a+b} \right)\left( {c+d} \right)\left( {a+c} \right)\left( {b+d} \right)}}$，其中$ n=a+b+c+d$．$ \sum\limits_{{i=1}}^{5}{{\left( {{{x}_{i}}-\bar{x}} \right)}}\left( {{{y}_{i}}-\bar{y}} \right)=180$，$ \underset{{i=1}}{\overset{5}{\mathop \sum }}\,{{\left( {{{x}_{i}}-\bar{x}} \right)}^{2}}=40$

19．在四棱锥$ P-ABCE$中，$ AB\parallel CE$，$ AB\bot BC$，$ AB=4$，$ BC=\sqrt{3}$，$ CE=3$，$ PA\bot $平面ABCE，PE与平面ABCE所成角为60°，又$ AM\bot PE$于M，$ AN\bot PB$于N．

（1）证明：$ PB\bot $平面AMN；

（2）求二面角$ P-AM-N$的余弦值．

20．已知椭圆E：$ \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>b>0} \right)$的离心率为$ \frac{{\sqrt{2}}}{2}$，短轴长为4．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线$ y=kx-1\left( {k\in R} \right)$与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

21．已知函数$ f\left( x \right)=\left( {{{x}^{2}}-2x-1} \right){{e}^{x}}-mx$，$ g\left( x \right)=\left( {-{{x}^{2}}+3x+1} \right)\cdot {{e}^{x}}+2mx$，$ m\in R$．

（1）设$ f\left( x \right)$的导函数为$ {f}’\left( x \right)$，当$ {f}’\left( x \right)$有两个零点时，求实数m的取值范围；

（2）设$ {{h}_{1}}\left( x \right)=m\left( {{{x}^{m}}+1} \right)\ln x+\left( {m-1} \right)x$，$ {{h}_{2}}\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)$，当$ x\in \left( {1,+\infty } \right)$时，若$ {{h}_{2}}\left( x \right)\ge {{h}_{1}}\left( x \right)$恒成立，求实数m的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号．

22．已知点$ P\left( {x,y} \right)$在曲线$ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$上．

（1）求动点$ M\left( {x+y,xy} \right)$的轨迹C的参数方程，并化为直角坐标方程；

（2）过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A、B两点，且$ \left| {OA} \right|\cdot \left| {OB} \right|=\frac{{17}}{{16}}$，求直线l的斜率．

23．已知函数$ f\left( x \right)=\left| {1-x} \right|+2\left| {x+2} \right|$．

（1）求不等式$ f\left( x \right)\le 9$的解集；

（2）令$ f\left( x \right)$的最小值为m，若正实数a、b、c满足$ \frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}=m$，求证：$ a+b+c\ge 12$．