1978年普通高等学校招生全国统一考试

数  学

（理科考生五，六两题选做一题 文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题 ）

一．（下列各题每题4分，五个题共20分）

1．分解因式：x²-4xy+4y²-4z².

2.已知正方形的边长为$ a$，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积

3．求函数$ y=\sqrt{{\lg (2+x)}}$的定义域

4．不查表求cos80⁰cos35⁰+cos10⁰cos55⁰的值 $ \text{               }{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{{-\frac{1}{2}}}}\cdot \frac{{{{{(\sqrt{{4a{{b}^{{-1}}}}})}}^{3}}}}{{{{{(0.1)}}^{{-2}}}{{{({{a}^{3}}{{b}^{{-4}}})}}^{{\frac{1}{2}}}}}}.$

二 .（本题满分14分）

已知方程kx²+y²=4，其中k为实数 对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图

三．（本题满分14分）

（如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，

求证：1)CD=CM=CN.       2)CD²=AM·BN

五．（本题满分20分）

已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=$ 2+\sqrt{3}$求角A，B，C的大小 又已知顶点C的对边c上的高等于$ 4\sqrt{3}$ 求三角形各边$ a$,b,c的长（提示：必要时可验证$ {{(1+\sqrt{3})}^{2}}=4+2\sqrt{3}$

七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）

已知函数y=x²+(2m+1)x+m²-1(m为实数）

1）m是什么数值时，y的极值是0？

2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L₁上 画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论

3）平行于L₁的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L₁而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等

副题备考卷

1．（1）分解因式：x²-2xy+y²+2x-2y-3

（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积

2．已知两数x₁ ,x₂满足下列条件：

1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项;

2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和 求根为$ \frac{1}{{{{x}_{1}}}},\quad \frac{1}{{{{x}_{2}}}}$的方程

3.已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：

4．（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=$ a$，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α

求证：$ BM=\frac{{4atg\alpha }}{{\sqrt{3}+tg\alpha }},\quad CN=\frac{{4atg\alpha }}{{\sqrt{3}-tg\alpha }}$

5．设有f(x)=4x⁴-4px³+4qx²+2p(m+1)x+(m+1)².(p≠0）求证：

1）如果f(x)的系数满足p²-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方 $ a$

2）如果f(x)与F(x)=(2x²+$ a$x+b)²表示同一个多项式，那么

p²-4q-4(m+1)=0

6．已知：$ a$sinx+bcosx =0.………………………………①

Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②

其中$ a$,b不同时为0

求证：2$ a$bA+(b²-$ a$²)B+(²+b²)C=0

7．已知L为过点P$ (-\frac{{3\sqrt{3}}}{2},-\frac{3}{2})$而倾斜角为30⁰的直线，圆C为中心$ $在坐标原点而半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点在$ (\frac{{\sqrt{2}}}{8},0)$的抛物线 设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点

1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图

2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式

3）设P＇、B＇依次为从P、B到x轴的垂足 求由圆弧AB和直线段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面积

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