名校真题：西安铁一中2022-2023高一年级下学期期中考试数学试题
西安铁一中2022-2023高一年级下学期期中考试数学试题
命题人：王刚 审题人：占金虎
时间：120 满分：120
一、单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．欧拉公式$ \displaystyle {{\operatorname{e}}^{{\text{i}x}}}=\cos x+\text{i}\sin x$（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，已知$ {{\text{e}}^{{a\text{i}}}}$为纯虚数，则复数$ \frac{{\sin 2a+\text{i}}}{{1+\text{i}}}$在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量$ \displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$满足：$ \left| {\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}} \right|=\left| {\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}} \right|$，则$ \displaystyle \overrightarrow{a}$与$ \displaystyle \overrightarrow{b}$夹角的大小为（ ）
A．$ \displaystyle {{30}^{\circ }}$ B．$ {{45}^{\circ }}$ C．$ {{60}^{\circ }}$ D．$ \displaystyle {{90}^{\circ }}$
3．如图为$ \displaystyle \vartriangle ABC$水平放置的直观图，其中$ \displaystyle {{B}^{\prime }}{{O}^{\prime }}={{C}^{\prime }}{{O}^{\prime }}=1$，$ {A}'{O}’=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，那么原$ \displaystyle \vartriangle ABC$的面积是（ ）
A．$ \sqrt{3}$ B．$ \displaystyle 2\sqrt{3}$ C．$ \frac{{\sqrt{3}}}{2}$ D．2
4．在$ \vartriangle \text{ABC}$中，若$ \displaystyle \lg \sin A-\lg \cos B-\lg \sin C=\lg 2$，则该三角形的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．已知正四面体$ \displaystyle S-ABC$的外接球表面积为$ \displaystyle 6\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$，则正四面体$ \displaystyle S-ABC$的棱长为（ ）
A．1 B．$ \sqrt{2}$ C．$ \sqrt{3}$ D．2
6．在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若$ \overrightarrow{{BE}}=x\overrightarrow{{AB}}+y\overrightarrow{{AC}}$，则$ x=$（ ）
A．$ \frac{2}{3}$ B．$ \displaystyle -\frac{4}{5}$ C．$ -\frac{5}{6}$ D．$ \displaystyle \frac{6}{7}$
7．在正方体$ ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$中，$ \displaystyle AB=2$，E为棱$ \displaystyle B{{B}_{1}}$的中点，则平面$ \displaystyle AE{{D}_{1}}$截正方体$ ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$的截面面积为（ ）
A．$ \displaystyle \frac{5}{2}$ B．$ \frac{7}{2}$ C．4 D．$ \frac{9}{2}$
8．已知函数$ f\left( x \right)=A\sin \left( {\omega x+\varphi } \right)\left( {A>0,\omega >0,\left| \varphi \right|<\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}} \right)$的图象如图所示，图象与$ x$轴的交点为$ \displaystyle M\left( {\frac{5}{2},0} \right)$，与$ \displaystyle y$轴的交点为$ \displaystyle N$，最高点$ \displaystyle P\left( {1,A} \right)$，且满足$ \displaystyle MN\bot NP$，则$ f\left( 0 \right)=$（ ）
A．$ \displaystyle \frac{1}{2}$ B．$ \displaystyle 1$ C．$ \frac{{\sqrt{{10}}}}{2}$ D．$ \sqrt{{10}}$
二、多项选择题（共4小题，每小题4分，共计16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知复数$ z=1+\text{i}$，则下列说法正确的是（ ）
A．$ z$的虚部是$ \mathrm{i}$ B．$ z$的共轭复数是$ 1-\text{i}$
C．$ \frac{{\bar{z}}}{z}=\text{i}$ D．$ \displaystyle z\cdot \overline{z}={{\left| {\overline{z}} \right|}^{2}}$
10．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．非零向量$ \displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$，满足$ \displaystyle \overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b},\overrightarrow{b}\parallel \overrightarrow{c}$，则$ \overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{c}$
B．向量$ \displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$共线的充要条件是存在实数$ \lambda $，使得$ \displaystyle \overrightarrow{b}=\lambda \overrightarrow{a}$成立
C．在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，$ b=18,c=20,B={{60}^{\circ }}$，该三角形有两个解
D．若$ \overrightarrow{{AB}}=\left( {3\text{,}1} \right),\overrightarrow{{AC}}=\left( {2\text{,}m} \right)$，$ \angle BAC$为锐角，则实数$ \displaystyle m$的范围是$ \displaystyle \left( {-6,+\infty } \right)$
11．在△ABC中，若$ a:b:c=4:5:6$，下列结论中正确的有（ ）
A．$ \sin B:\sin A:\sin C=4:5:6$ B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC中最大角是最小角的2倍 D．若$ c=6$，则△ABC外接圆的半径为$ \frac{{8\sqrt{7}}}{7}$
12．已知函数$ f\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{2}}+x+\frac{1}{4},x<0} \\ {\left| {\text{ln}x-1} \right|,x>0} \end{array}} \right.$，若方程$ \displaystyle f\left( x \right)=k\left( {k\in \text{R}} \right)$有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为$ \displaystyle {{x}_{1}}$，$ \displaystyle {{x}_{2}}$，$ \displaystyle {{x}_{3}}$，$ {{x}_{4}}$，则（ ）
A．$ 0<k<\frac{1}{4}$ B．$ \displaystyle \text{e}<{{x}_{3}}<{{\text{e}}^{2}}$ C．$ \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1$ D．$ 0<{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{4}}<\frac{{{{\text{e}}^{2}}}}{4}$
三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案写在答题卡中的横线上）
13．已知向量$ \overrightarrow{{AB}}=(2,-1),\overrightarrow{{AC}}=(t,3),\overrightarrow{{AB}}\bot \overrightarrow{{AC}}$,则$ \displaystyle t=$___________．
14．已知$ \displaystyle z\in \text{C}$，且$ \left| {z+\text{i}} \right|=3$，$ \mathrm{i}$为虚数单位，则$ \displaystyle \left| {z-3-3\text{i}} \right|$的最大值是__．
15．如图，在棱长为1的正方体$ ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$中，点 E，F分别是棱BC，$ C{{C}_{1}}$的中点，P是侧面$ \displaystyle BC{{C}_{1}}{{B}_{1}}$内一点（包含边界），若 $ \displaystyle {{A}_{1}}P//$平面AEF，则线段$ {{A}_{1}}P$长度的取值范围是 _________ .
16．在锐角三角形$ \displaystyle ABC$中，内角$ \displaystyle A,B,C$所对的边$ a,b,c$满足$ \displaystyle {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=bc$，若$ \text{cos}\left( {C-B} \right)+\lambda \text{cos}A$存在最大值，则实数$ \lambda $的取值范围是__________．
四、解答题（本题共6小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．已知复数$ \displaystyle z=\left( {{{m}^{2}}+m-2} \right)+\left( {2{{m}^{2}}-m-3} \right)\text{i},m\in \mathbf{R}$，其中i为虚数单位.
(1)若复数z为纯虚数，求m的值；
(2)若$ \displaystyle z\cdot \bar{z}+3\text{i}z=16+12\text{i}$，求m的值.
18．如图，直三棱柱$ ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$中，$ \displaystyle BC=A{{A}_{1}}=1$，$ \displaystyle AB=\sqrt{2}$，$ \displaystyle \cos \angle ACB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，P为线段$ \displaystyle B{{C}_{1}}$上的动点．
(1)当P为线段$ \displaystyle B{{C}_{1}}$上的中点时，求三棱锥$ \displaystyle B-PAC$的体积；
(2)当P在线段$ \displaystyle B{{C}_{1}}$上移动时，求$ \displaystyle AP+CP$的最小值．
19．如图，已知点$ \displaystyle G$是$ \displaystyle \vartriangle ABC$的重心，若$ PQ$过$ \displaystyle \vartriangle ABC$的重心$ \displaystyle G$，且$ \displaystyle \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{a}$，$ \displaystyle \overrightarrow{{AC}}=\overrightarrow{b}$，$ \overrightarrow{{AP}}=m\overrightarrow{a}$，$ \overrightarrow{{AQ}}=n\overrightarrow{b}$（$ m>0$，$ \displaystyle n>0$），试求$ m+2n$的最小值．
20．如图，在扇形$ \displaystyle AOB$中，圆心角$ \displaystyle AOB$等于60°，半径为4，在弧$ AB$上有一动点$ P$，过$ P$引平行于$ \displaystyle OB$的直线和$ \displaystyle OA$交于点$ \displaystyle C$，设$ \angle AOP=\theta $.
(1)若点$ \displaystyle C$为$ \displaystyle OA$的中点，试求$ \displaystyle \theta $的正弦值；
(2)求$ \displaystyle \vartriangle POC$面积的最大值及此时$ \displaystyle \theta $的值.
21．如图：已知三棱柱$ ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$中，D为BC边上一点，$ \displaystyle {{D}_{1}}$为$ {{B}_{1}}{{C}_{1}}$中点，且$ \displaystyle {{A}_{1}}B$∥平面$ \displaystyle AD{{C}_{1}}$．证明：平面$ \displaystyle {{A}_{1}}B{{D}_{1}}\text{//}$平面$ \displaystyle AD{{C}_{1}}$．
22．在平面直角坐标系中，锐角$ \displaystyle \alpha $、$ \displaystyle \beta $的终边分别与单位圆交于$ A$、$ B$两点．
(1)如果$ A$点的纵坐标为$ \frac{5}{{13}}$，$ B$点的横坐标为$ \displaystyle \frac{3}{5}$，求$ \cos (a+\beta )$的值；
(2)若角$ \displaystyle a+\beta $的终边与单位圆交于$ \displaystyle C$点，经点$ A$、$ B$、$ \displaystyle C$分别作$ x$轴垂线，垂足分别为$ M$、$ \displaystyle N$、$ P$．求证：线段$ MA$、$ \displaystyle NB$、$ \displaystyle PC$能构成一个三角形；
(3)探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．