2022-2023学年交大附中高一（下）第一次月考数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每题3分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知点$ \displaystyle A\left( {1,2} \right)$，$ \displaystyle B\left( {-1,0} \right)$，则$ \overrightarrow{{AB}}=$（       ）

A．$ \displaystyle \left( {2,0} \right)$                  B．$ \left( {2,2} \right)$                    C．$ \displaystyle \left( {-2,-2} \right)$             D．$ \left( {0,2} \right)$

2．若z=1+i，则|z²–2z|=（       ）

A．0                        B．1                     C．$ \sqrt{2}$               D．2

3．已知向量$ \displaystyle \overrightarrow{a}$、$ \displaystyle \overrightarrow{b}$的夹角为$ \frac{{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{4}$，$ \displaystyle \left| {\overrightarrow{a}} \right|=\sqrt{2}$，$ \displaystyle \left| {\overrightarrow{b}} \right|=1$，则$ \left| {3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}} \right|=$（       ）

A．4                       B．5                       C．$ 4\sqrt{2}$                         D．$ 5\sqrt{2}$

4．已知向量$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left( {1,2} \right)$，$ \displaystyle \overrightarrow{c}=\left( {-3,-4} \right)$，且$ \displaystyle \overrightarrow{b}\bot \overrightarrow{c}$，则$ \displaystyle \overrightarrow{a}$在$ \overrightarrow{c}$方向上的投影是（       ）

A．$ \frac{{11}}{5}$                          B．-11                     C．$ -\frac{{11}}{5}$                    D．11

5．正四面体$ A-BCD$的棱长为$ 2\sqrt{2}$，则它的内切球与外接球的表面积之比为（       ）

A．$ \displaystyle \frac{3}{4}$         B．$ \frac{1}{4}$           C．$ \frac{1}{8}$                                   D．$ \displaystyle \frac{1}{9}$

6．设当$ x={{x}_{0}}$时，函数$ \displaystyle f\left( x \right)=3\sin x-4\cos x$取最大值，则$ \cos {{x}_{0}}=$（       ）

A．$ -\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$          B．$ \displaystyle -\frac{4}{5}$                                   C．$ \displaystyle -\frac{3}{5}$  D．$ \displaystyle \frac{3}{5}$

7．在$ \displaystyle \vartriangle OAB$中，C，D分别为AB，OB的中点，E为OA边上离点O最近的四等分点，F为AD，CE的交点若$ \overrightarrow{{OA}}=\overrightarrow{a}$，$ \overrightarrow{{OB}}=\overrightarrow{b}$，则$ \overrightarrow{{OF}}=$（       ）

A．$ \frac{2}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{{10}}\overrightarrow{b}$                                                                     B．$ \displaystyle \frac{2}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$

C．$ \displaystyle \frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{{10}}\overrightarrow{b}$                                               D．$ \displaystyle \frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{{10}}\overrightarrow{b}$

8．已知函数$ f\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{2}}+(4a-3)x+3a,x<0,} \\ {{{{\log }}_{a}}(x+1)+1,x\ge 0} \end{array}} \right.$（$ \displaystyle a>0$，且$ \text{a}\ne 1$）在$ R$上单调递减，且关于x的方程$ \displaystyle \left| {f\left( x \right)} \right|=2-x$恰有两个不相等的实数解，则$ \displaystyle \operatorname{a}$的取值范围是

A．$ \displaystyle \left( {0,\frac{2}{3}} \right]$ B．[$ \frac{2}{3}$，$ \displaystyle \frac{3}{4}$]        C．[$ \frac{1}{3}$，$ \frac{2}{3}$]$ \displaystyle \bigcup ${$ \displaystyle \frac{3}{4}$}                     D．[$ \frac{1}{3}$，$ \frac{2}{3}$）$ \displaystyle \bigcup ${$ \displaystyle \frac{3}{4}$}

二、多项选择题（共4小题，每题3分，每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得3分，部分选对得1分，有选错的得0分）

9．已知向量$ \vec{a}$，$ \vec{b}$满足$ \displaystyle \text{ }\!\!|\!\!\text{ }\vec{a}|=1$，$ |\vec{b}|=2$，$ |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{3}$，则下列结论中正确的是（       ）

A．$ \vec{a}\cdot \vec{b}=-2$     B．$ \vec{a}\bot (\vec{a}+\vec{b})$

C．$ \displaystyle |\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$       D．$ \vec{a}$与$ \vec{b}$的夹角为$ \displaystyle \frac{\pi }{3}$

10．设向量$ \displaystyle \overrightarrow{a}$、$ \displaystyle \overrightarrow{b}$是不共线的两个平面向量，已知$ \displaystyle \overrightarrow{{PQ}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot \sin \alpha $，其中$ \displaystyle \alpha \in \left( {0,2\pi } \right)$，$ \displaystyle \overrightarrow{{QR}}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，若P、Q、R三点共线，则角$ \displaystyle \alpha $的值可以是（       ）

A．$ \frac{\pi }{6}$                            B．$ \displaystyle \frac{{5\pi }}{6}$                                   C．$ \frac{{7\pi }}{6}$                     D．$ \displaystyle \frac{{11\pi }}{6}$

11．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x$，则下列说法正确的是

A．$ f\left( x \right)$的周期为$ \pi $    B．$ \displaystyle x=\frac{\pi }{3}$是$ f\left( x \right)$的一条对称轴

C．$ \left[ {-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{6}} \right]$是$ f\left( x \right)$的一个递增区间                                                                     D．$ \left[ {-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}} \right]$是$ f\left( x \right)$的一个递减区间

12．已知某圆锥的母线长为$ 2$，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（       ）

A．圆锥的体积为$ \displaystyle \frac{{2\sqrt{2}}}{3}\pi $

B．圆锥的表面积为$ 2\sqrt{2}\pi $

C．圆锥的侧面展开图是圆心角为$ \sqrt{2}\pi $的扇形

D．圆锥的内切球表面积为$ \left( {24-16\sqrt{2}} \right)\pi $

三、填空题（本大题共4小题，每题3分）

13．已知$ \displaystyle \vartriangle {A}'{O}'{B}’$表示水平放置的$ \displaystyle \vartriangle AOB$的直观图，且$ \displaystyle \vartriangle {A}'{O}'{B}’$的面积是$ \displaystyle \frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，则$ \displaystyle \vartriangle AOB$的面积是__________.

14．在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若$ \displaystyle \overrightarrow{{AF}}=2x\overrightarrow{{AB}}+y\overrightarrow{{AC}}\left( {x>0,y>0} \right)$，则$ \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值为________

15．已知在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，$ AB=4$，$ \displaystyle AC=6$，其外接圆的圆心为O，则$ \overrightarrow{{AO}}\cdot \overrightarrow{{BC}}=$__________.

16．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径$ A$，$ B$两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点$ \displaystyle C$，$ \displaystyle D$，测得$ \displaystyle CD=80$，$ \angle ADB=135{}^\circ $，$ \displaystyle \angle BDC=\angle DCA=15{}^\circ $，$ \displaystyle \angle ACB=120{}^\circ $，则$ A$，$ B$两点间的距离为______.

四、解答题（本大题共6小题，每小题12分，共72分）

17．已知向量$ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$满足$ \overrightarrow{a}=(-1,3)$，$ \displaystyle |\overrightarrow{b}|=4\sqrt{5}$，$ \displaystyle |\overrightarrow{c}|=2\sqrt{5}$.

（1）若$ \displaystyle \overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{c}$，求$ \overrightarrow{c}$的坐标；

（2）若$ \displaystyle \overrightarrow{a}\bot \left( {2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}} \right)$，求$ \displaystyle \overrightarrow{a}$与$ \displaystyle \overrightarrow{b}$的夹角.

18．函数$ f\left( x \right)=A\text{sin}\left( {\omega x+\varphi } \right)+B$的部分图象如图所示，其中$ \displaystyle A>0$，$ \omega >0$，$ \displaystyle \left| \varphi  \right|<\frac{\pi }{2}$.

（Ⅰ）求函数$ \displaystyle y=f\left( x \right)$解析式；

（Ⅱ）求$ \displaystyle x\in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$时，函数$ \displaystyle y=f\left( x \right)$的值域.

19．如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）.若要求圆柱体罐子侧面积最大，应如何截取？并求侧面积最大值.

20．如图所示，在正方体$ ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$中，$ O$为底面$ \displaystyle ABCD$的中心，$ P$是$ \displaystyle D{{D}_{1}}$的中点，$ Q$是$ C{{C}_{1}}$的中点．求证：

(1)$ \displaystyle PO//$平面$ \displaystyle {{D}_{1}}BQ$；

(2)平面$ \displaystyle {{D}_{1}}BQ//$平面$ PAO$．

21．在三角形$ \displaystyle ABC$中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$ a=b\cos C+\frac{{\sqrt{3}}}{3}c\sin B$.

（1）求B；

（2）若$ \displaystyle AD$为$ \angle BAC$的平分线，且$ \displaystyle 2BD=DC=4$，求c.

22．已知定义在$ R$上的函数$ \displaystyle f(x)=\frac{{-{{2}^{x}}+b}}{{{{2}^{{x+1}}}+a}}$是奇函数．

（1）求实数$ \displaystyle a$，$ b$的值：

（2）求函数$ f\left( x \right)$的值域；

（3）若对任意的$ \displaystyle \theta \in \left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)$，不等式$ \displaystyle f(k)+f\left( {{{{\cos }}^{2}}\theta -2\sin \theta } \right)\le 0$有解，求实数$ \displaystyle k$的取值范围．