模考真题：2023届临潼区､阎良区高三年级一模考试理科数学试题
2023届临潼区、阎良区高三年级模拟考试
理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合$ \displaystyle A=\left\{ {x\left| {\left| x \right|<2} \right.} \right\}$，$ \displaystyle B=\left\{ {x\left| {{{x}^{2}}-1\ge 0} \right.} \right\}$，则$ \displaystyle A\cap \left( {{{\complement }_{\mathbf{R}}}B} \right)=$（ ）
A．$ \displaystyle \left[ {-1,1} \right]$ B．$ \displaystyle \left( {-1,1} \right)$ C．$ \displaystyle \left[ {1,2} \right)$ D．$ \displaystyle \left( {-2,1} \right]$
2．已知i是虚数单位，复数$ \displaystyle z-\text{i}=\frac{{3+\text{i}}}{{1+\text{i}}}$，则复数z的共扼复数为（ ）
A．2 B．－2 C．$ \displaystyle 2\text{i}$ D．$ \displaystyle -2\text{i}$
3．为了提高学生综合能力，某高校每年安排大三学生在暑假期间进行社会实践活动，现将8名学生平均分配给甲，乙两家单位，其中两名外语系学生不能分给同一家单位；另三名艺术系学生也不能同时分给同一家单位，其余学生随机分配，则不同的分配方案有（ ）
A．114种 B．38种 C．108种 D．36种
4．已知$ \displaystyle {{\sin }^{2}}\left( {\pi -\theta } \right)=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2}+\theta } \right)$，$ \displaystyle 0<\left| x \right|<\frac{\pi }{2}$，则$ \displaystyle \theta $等于（ ）
A．$ \displaystyle -\frac{\pi }{6}$ B．$ \displaystyle -\frac{\pi }{3}$ C．$ \displaystyle \frac{\pi }{6}$ D．$ \displaystyle \frac{\pi }{3}$
5．已知$ \displaystyle xy>0$，向量$ \displaystyle \overrightarrow{m}=\left( {2x,1} \right)$与向量$ \displaystyle \overrightarrow{n}=\left( {\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y} \right)$垂直，x，y，2成等比数列，则x与y的等差中项为（ ）
A．$ \displaystyle \frac{3}{4}$ B．$ \displaystyle \frac{3}{2}$ C．$ \displaystyle \frac{1}{2}$ D．1
6．函数$ \displaystyle f\left( x \right)$是定义在$ \displaystyle \mathbf{R}$上的奇函数，且在$ \displaystyle \left( {0,+\infty } \right)$上单调递增，$ \displaystyle f\left( 1 \right)=0$，则不等式$ \displaystyle xf\left( {x-1} \right)<0$的解集为（ ）
A．$ \displaystyle \left( {-\infty ,0} \right)\cup \left[ {2,+\infty } \right)$ B．$ \displaystyle \left( {0,1} \right)$
C．$ \displaystyle \left( {-\infty ,0} \right)\cup \left( {2,+\infty } \right)$ D．$ \displaystyle \left( {1,2} \right)$
7．已知$ \displaystyle {{F}_{1}}$，$ \displaystyle {{F}_{2}}$分别是双曲线$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>0,b>0} \right)$的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，若$ \displaystyle \frac{{{{{\left| {P{{F}_{1}}} \right|}}^{2}}}}{{\left| {P{{F}_{2}}} \right|}}=8a$，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．$ \displaystyle \left( {1,2} \right]$ B．$ \displaystyle \left[ {2,+\infty } \right)$ C．$ \displaystyle \left( {1,3} \right]$ D．$ \displaystyle \left[ {3,+\infty } \right)$
8．在$ \displaystyle \mathbf{R}$上定义运算$ \displaystyle \otimes $：$ \displaystyle x\otimes y=\frac{2}{{2-y}}$，若关于x的不等式$ \displaystyle \left( {x-a} \right)\otimes \left( {x-1-a} \right)\ge 0$的解集是集合$ \displaystyle \left\{ {x\left| {-2<x\le 4} \right.} \right\}$的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．$ \displaystyle -2<a<1$ B．$ \displaystyle -2\le a<1$ C．$ \displaystyle -2<a\le 1$ D．$ \displaystyle -2\le a\le 1$
9．函数$ \displaystyle f\left( x \right)={{x}^{3}}\ln \frac{{\text{e}+\cos x}}{{\text{e}-\cos x}}$的图象大致为（ ）
10．数列$ \displaystyle \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前n项和为$ \displaystyle {{S}_{n}}$，$ \displaystyle {{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，若该数列满足$ \displaystyle {{a}_{n}}+2{{S}_{n}}{{S}_{{n-1}}}=0\left( {n\ge 2} \right)$，则下列命题中错误的是（ ）
A．$ \displaystyle \left\{ {\frac{1}{{{{S}_{n}}}}} \right\}$是等差数列 B．$ \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{1}{{2n}}$
C．$ \displaystyle {{a}_{n}}=-\frac{1}{{2n\left( {n-1} \right)}}$ D．$ \displaystyle \left\{ {{{S}_{{{{2}^{n}}}}}} \right\}$是等比数列
11．定义在$ \displaystyle \left( {0,+\infty } \right)$上的单调函数$ \displaystyle f\left( x \right)$，若对任意实数$ \displaystyle x\in \left( {0,+\infty } \right)$，都有$ \displaystyle f\left( {f\left( x \right)-{{\text{e}}^{x}}-\ln x} \right)={{\text{e}}^{2}}+2\ln \sqrt{2}\text{e}$，若$ \displaystyle {{x}_{0}}$是方程$ \displaystyle f\left( x \right)-{f}’\left( x \right)=\text{e}$的一个解，则$ \displaystyle {{x}_{0}}$可能存在的区间是（ ）
A．$ \displaystyle \left( {0,1} \right)$ B．$ \displaystyle \left( {1,2} \right)$ C．$ \displaystyle \left( {2,3} \right)$ D．$ \displaystyle \left( {3,4} \right)$
12．已知$ \displaystyle {{F}_{1}}$，$ \displaystyle {{F}_{2}}$分别为双曲线$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1$的左、右焦点，且$ \displaystyle \left| {{{F}_{1}}{{F}_{2}}} \right|=\frac{{{{b}^{2}}}}{{2a}}$，点P为双曲线右支上一点，M为$ \displaystyle \vartriangle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}$的内心，若$ \displaystyle {{S}_{{\vartriangle MP{{F}_{1}}}}}={{S}_{{\vartriangle MP{{F}_{2}}}}}+\lambda {{S}_{{\vartriangle M{{F}_{1}}{{F}_{2}}}}}$成立，则$ \displaystyle \lambda $的值为（ ）
A．$ \displaystyle \sqrt{5}+2$ B．$ \displaystyle \sqrt{5}-2$ C．2 D．$ \displaystyle \frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式$ \displaystyle {{\left( {\sqrt{x}-\frac{2}{x}} \right)}^{5}}$的展开式中，x项的系数为______．
14．在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，点D是边BC上一点，且$ \displaystyle AB=4$，$ \displaystyle BD=2$，$ \displaystyle \cos B=\frac{{11}}{{16}}$，$ \displaystyle \cos C=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，则$ \displaystyle DC=$______．
15．空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足$ \displaystyle \overrightarrow{{AM}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{{AB}}$，$ \displaystyle \overrightarrow{{DN}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{{DC}}$，若点G在线段MN上，且满足$ \displaystyle \overrightarrow{{MG}}=3\overrightarrow{{GN}}$，若向量$ \displaystyle \overrightarrow{{AG}}$满足$ \displaystyle \overrightarrow{{AG}}=x\overrightarrow{{AB}}+y\overrightarrow{{AC}}+z\overrightarrow{{AD}}$，则$ \displaystyle x+y+z=$______．
16．表面积为1$ \displaystyle 100\pi $的球面上有四点S、A、B、C，$ \displaystyle \vartriangle ABC$是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若面$ \displaystyle SAB\bot $面ABC，则棱锥$ \displaystyle S-ABC$体积的最大值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=2\sqrt{3}\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x$．
（1）求函数$ \displaystyle f\left( x \right)$的单调递减区间及对称轴方程；
（2）若在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，且$ \displaystyle f\left( A \right)=2$，$ \displaystyle a=2\sqrt{3}$，求$ \displaystyle \vartriangle ABC$面积的最大值．
18．（12分）在四棱锥$ \displaystyle P-ABCD$中，$ \displaystyle BD=2$，$ \displaystyle \angle DAB=\angle BCD=90{}^\circ $，$ \displaystyle \angle CDB=30{}^\circ $，$ \displaystyle \angle ADB=45{}^\circ $，$ \displaystyle PA=PB=PD=2$．
（1）求证：平面$ \displaystyle PBD\bot $平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．
19．（12分）甲乙二人均为射击队S中的射击选手，某次训练中，二人进行了100次“对抗赛”，每次“对抗赛”中，二人各自射击一次，并记录二人射击的环数，更接近10环者获胜，环数相同则记为“平局”．已知100次对抗的成绩的频率分布如下：
| “对抗赛”成绩（甲：乙） | $ \displaystyle 10:10$ | $ \displaystyle 10:9$ | $ \displaystyle 10:8$ | $ \displaystyle 9:10$ | $ \displaystyle 9:9$ | $ \displaystyle 9:8$ | $ \displaystyle 8:10$ | $ \displaystyle 8:9$ | $ \displaystyle 8:8$ | 总计 |
| 频数 | 21 | 13 | 6 | 25 | 15 | 10 | 4 | 2 | 4 | 10 |
这100次“对抗赛”中甲乙二人各自击中各环数的频率可以视为相应的概率．
（1）设甲，乙两位选手各自射击一次，得到的环数分别为随机变量X，Y，求$ \displaystyle E\left( X \right)$，$ \displaystyle E\left( Y \right)$，$ \displaystyle D\left( X \right)$，$ \displaystyle D\left( Y \right)$．
（2）若某位选手在一次射击中命中9环或10环，则称这次射击成绩优秀，以这100次对抗赛的成绩为观测数据，能否在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为甲的射击成绩优秀与乙的射击成绩优秀有关联？
（3）在某次团队赛中，射击队S只要在最后两次射击中获得至少19环即可夺得此次比赛的冠军，现有以下三种方案：
方案一：由选手甲射击2次﹔
方案二：由选手甲、乙各射击1次；方案三：由选手乙射击2次．
则哪种方案最有利于射击队S夺冠？请说明理由．
附：参考公式：$ \displaystyle {{K}^{2}}=\frac{{n{{{\left( {ad-bc} \right)}}^{2}}}}{{\left( {a+b} \right)\left( {c+d} \right)\left( {a+c} \right)\left( {b+d} \right)}}$
参考数据：
| $ \displaystyle P\left( {{{K}^{2}}\ge {{k}_{0}}} \right)$ | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| $ \displaystyle {{k}_{0}}$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
20．（12分）在椭圆C：$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>b>0} \right)$，$ \displaystyle c=3$，过点$ \displaystyle \left( {0,b} \right)$与$ \displaystyle \left( {a,0} \right)$的直线的斜率为$ \displaystyle -\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的右焦点，P为直线$ \displaystyle x=3$上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当$ \displaystyle \frac{{\left| {MN} \right|}}{{\left| {PF} \right|}}$取最大值时，求直线MN的方程．
21．（12分）已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=a\left( {x+1} \right)\ln x+2x$，$ \displaystyle a\in \mathbf{R}$．
（1）若$ \displaystyle {f}’\left( {\frac{1}{\text{e}}} \right)=\text{e}+2$，讨论函数$ \displaystyle f\left( x \right)$的单调性；
（2）当$ \displaystyle x\ge 1$时，$ \displaystyle f\left( x \right)\le {{\text{e}}^{{x-1}}}+2a\ln x+x$恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线l过定点$ \displaystyle \left( {-1,0} \right)$，倾斜角为$ \displaystyle \alpha $，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为$ \displaystyle \rho =2\cos \left( {\frac{\pi }{2}-\theta } \right)$．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，设$ \displaystyle M\left( {-1,0} \right)$，若$ \displaystyle \left| {MP} \right|+\left| {PQ} \right|=2\sqrt{2}$，求直线l的方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
若函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\left| {x-a} \right|+\left| {x+b} \right|$，a，$ \displaystyle b\in \mathbf{R}$且$ \displaystyle a+b>0$．
（1）若$ \displaystyle b=1$，$ \displaystyle x\in \left[ {0,1} \right]$时，不等式$ \displaystyle f\left( x \right)\le \left| {x+5} \right|$恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数$ \displaystyle f\left( x \right)$的最小值为1，试证明点$ \displaystyle \left( {a,b} \right)$在定直线上．