渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合$ \displaystyle A=\left\{ {-1,1,2,4} \right\}$，$ B=\left\{ {\left. x \right|{{x}^{2}}-2x\le 0} \right\}$，则$ \displaystyle A\bigcap B=$（       ）

A．$ \displaystyle \left\{ {-1,2} \right\}$                  B．$ \left\{ {1,2} \right\}$                                   C．$ \displaystyle \left\{ {1,4} \right\}$       D．$ \left\{ {-1,4} \right\}$

2．设复数$ z$满足$ z\cdot \left( {1+2\text{i}} \right)=\left| {-3+4\text{i}} \right|$，则$ z$的虚部是（       ）

A．2                           B．$ 2\text{i}$    C．$ -2$                  D．$ -2\text{i}$

3．已知命题$ p:\exists x\in \text{R},\text{sin}x=\frac{3}{2}$；命题$ q:\forall x\in \text{R},{{x}^{2}}-4x+5>0$，则下列结论正确的是（       ）

A．命题$ p\wedge q$是真命题             B．命题$ p\wedge \left( {\neg q} \right)$是真命题

C．命题$ \displaystyle \left( {\neg p} \right)\wedge q$是真命题    D．命题$ \left( {\neg p} \right)\wedge \left( {\neg q} \right)$是假命题

4．已知$ x>1$，则$ \displaystyle y=x+\frac{4}{{x-1}}$取得最小值时$ x$的值为（     ）

A．3                           B．2                           C．4                           D．5

5．若x，y满足约束条件$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x+y\ge 2,} \\ {x+2y\le 4} \\ {y\ge 0,} \end{array}} \right.,$则$ \displaystyle z=2x-y$的最大值是（       ）

A．$ -2$                  B．4                           C．8                           D．12

6．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$，$ x\in \mathbf{R}$，则（       ）

A．$ \displaystyle -2\le f\left( x \right)\le 2$   B．$ f\left( x \right)$在区间上有$ \displaystyle 1$个零点

C．$ f\left( x \right)$的最小正周期为$ 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$                                                                     D．$ x=\frac{2}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$为$ f\left( x \right)$图象的一条对称轴

7．《卖油翁》中写道：“（油）自钱孔入，而钱不湿”，其技艺让人叹为观止，已知铜钱是直径为$ \displaystyle 15\text{mm}$的圆，中间有边长为$ \displaystyle 5\text{mm}$的正方形孔，若随机向铜钱滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中而钱不湿的概率为（       ）

A．$ \displaystyle \frac{9}{{16}}$                               B．$ \frac{1}{4}$                                   C．$ \displaystyle 1-\frac{4}{{9\pi }}$  D．$ \frac{4}{{9\pi }}$

8．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径$ \displaystyle R=3$，小圆半径$ r=2$，点$ P$在大圆上，过点$ P$作小圆的切线，切点分别是$ \displaystyle E$，$ F$，则$ \overrightarrow{{PE}}\cdot \overrightarrow{{PF}}=$（       ）

A．$ \frac{4}{9}$                                 B．$ \frac{5}{9}$      C．4       D．5

9．已知函数$ f\left( x \right)$满足：①定义域为$ \displaystyle \text{R}$，②$ f\left( {x+1} \right)$为偶函数，③$ \displaystyle f\left( {x+2} \right)$为奇函数，④对任意的$ \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ {0,1} \right]$，且$ \displaystyle {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$，都有$ \displaystyle \left( {{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} \right)\left( {f\left( {{{x}_{1}}} \right)-f\left( {{{x}_{2}}} \right)} \right)>0$，则$ f\left( {-\frac{7}{3}} \right),f\left( {\frac{2}{3}} \right),f\left( {\frac{{11}}{3}} \right)$的大小关系是（       ）

A．$ f\left( {-\frac{7}{3}} \right)<f\left( {\frac{2}{3}} \right)<f\left( {\frac{{11}}{3}} \right)$      B．$ f\left( {-\frac{7}{3}} \right)<f\left( {\frac{{11}}{3}} \right)<f\left( {\frac{2}{3}} \right)$

C．$ f\left( {\frac{{11}}{3}} \right)<f\left( {-\frac{7}{3}} \right)<f\left( {\frac{2}{3}} \right)$      D．$ f\left( {\frac{{11}}{3}} \right)<f\left( {\frac{2}{3}} \right)<f\left( {-\frac{7}{3}} \right)$

10．如图，在直三棱柱$ ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$中，$ \displaystyle A{{A}_{1}}=2AB=2AC$，且$ \displaystyle AB\bot AC,D,E$分别是棱$ \displaystyle BC,B{{B}_{1}}$的中点，则异面直线$ \displaystyle {{A}_{1}}D$与$ \displaystyle {{C}_{1}}E$所成角的余弦值是（       ）

A．$ \frac{{2\sqrt{6}}}{9}$           B．$ \displaystyle \frac{{\sqrt{6}}}{6}$                                   C．$ \frac{{\sqrt{{57}}}}{9}$        D．$ \frac{{\sqrt{{30}}}}{6}$

11．已知以圆$ \displaystyle C$：$ {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$的圆心为焦点的抛物线$ {{C}_{1}}$与圆在第一象限交于$ A$点，$ B$点是抛物线$ {{C}_{2}}$：$ {{x}^{2}}=8y$上任意一点，$ \displaystyle BM$与直线$ y\text{=}-\text{2}$垂直，垂足为$ M$，则$ \displaystyle |BM|-|AB|$的最大值为（       ）

A．$ \displaystyle 1$                        B．$ 2$                    C．$ -1$     D．$ 8$

12．已知直线$ y=ax+b(a\in \text{R},b>0)$是曲线$ \displaystyle f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}$与曲线$ g\left( x \right)=\text{ln}x+2$的公切线，则$ a+b$等于（       ）

A．$ \displaystyle \text{e}+2$     B．3                           C．$ \text{e}+1$  D．2

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：

根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为$ \displaystyle \hat{y}=0.8135x+\hat{a}$.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为___________万元.(参考数据：取$ \displaystyle 0.8135\times 36=29.29$)

14．已知双曲线$ C:\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>0,b>0} \right)$的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为______

15．宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得$ \displaystyle \angle CAD=15{}^\circ $，从A处沿山坡直线往上前进$ 85\text{m}$到达B处，在山坡B处测得$ \angle CBD=30{}^\circ $，$ \displaystyle \angle BCD=45{}^\circ $，则宝塔CD的高约为_________m.（$ \sqrt{2}\approx 1.41$，$ \displaystyle \sqrt{6}\approx 2.45$，结果取整数）

16．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体$ \displaystyle ABCD$的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过$ \displaystyle A,B,C$三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17．设数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$，已知$ {{a}_{1}}=3$，$ \left\{ {\frac{{{{S}_{n}}}}{n}} \right\}$是公差为2的等差数列.

(1)求$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的通项公式；

(2)设$ \displaystyle {{b}_{n}}=\frac{1}{{{{a}_{n}}{{a}_{{n+1}}}}}$，求数列$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$前$ n$项和$ {{T}_{n}}$.

18．从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）：$ 10.5,9.9,9.4,10.7,10.0,9.6,10.8,10.1,9.7,9.3$，记样本均值为$ \displaystyle \bar{x}$，样本标准差为$ s$.

(1)求$ \bar{x},s$；

(2)将质量在区间$ \left( {\bar{x}-s,\bar{x}+s} \right)$内的零件定为一等品.

①估计这台机器生产的零件的一等品率；

②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P.

19．如图，在直三棱柱$ ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$中，E为$ \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}$的中点，$ AB=BC=2$，$ {{C}_{1}}F\bot AB$.

（1）求证：$ AB\bot BC$；

（2）若$ {{C}_{1}}F//$平面$ ABE$，且$ \displaystyle {{C}_{1}}F=2$，求点$ A$到平面$ \displaystyle BCE$的距离.

20．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是$ \displaystyle E$，在圆内异于圆心处取一点，标记为$ F$；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点$ F$；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.

已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点$ F$到圆心$ \displaystyle E$的距离为4，按上述方法折纸.

(1)以点$ F$、$ \displaystyle E$所在的直线为$ x$轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；

(2)若过点$ \displaystyle Q\left( {1,0} \right)$且不与$ \displaystyle y$轴垂直的直线$ \displaystyle l$与椭圆$ \displaystyle C$交于$ M$，$ \displaystyle N$两点，在$ x$轴的正半轴上是否存在定点$ \displaystyle T\left( {t,0} \right)$，使得直线$ \displaystyle TM$，$ TN$斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.

21．已知函数$ \displaystyle f(x)=x-\frac{a}{x}-\ln x(a\in \mathbf{R})$有两个极值点$ \displaystyle {{x}_{1}}$，$ \displaystyle {{x}_{2}}$，且$ {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$．

（1）求实数$ \displaystyle a$的取值范围，并讨论$ f\left( x \right)$的单调性；

（2）证明：$ \displaystyle f\left( {{{x}_{2}}} \right)>\text{ln}2$．

（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标$ xOy$中，曲线$ \displaystyle C$的参数方程为$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=\frac{{2\sqrt{3}t}}{{1+{{t}^{2}}}}} \\ {y=\frac{{2\sqrt{3}}}{{1+{{t}^{2}}}}} \end{array}} \right.$（$ \displaystyle t$为参数，$ \displaystyle t\in \mathbf{R}$），以原点$ O$为极点，$ x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线$ \displaystyle l$的极坐标方程为$ \rho \cos \left( {\theta +\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}} \right)=-\frac{3}{2}$.

(1)求曲线$ \displaystyle C$的普通方程；

(2)若曲线$ \displaystyle C$与直线$ \displaystyle l$交于$ A,B$两点，求$ \displaystyle \vartriangle AOB$的面积.

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知关于$ x$的不等式$ \left| {x+1} \right|\ge \left| {x-2} \right|+\left| {t-3} \right|$有解．

(1)求实数$ \displaystyle t$的最大值$ M$；

(2)在（1）的条件下，已知$ a,b,c$为正数，且$ abc=2\sqrt{3}M$，求$ \displaystyle {{\left( {a+b} \right)}^{2}}+{{c}^{2}}$的最小值．