渭南市2023年高三教学质量检测（II）

数学试题（理科）

注意事项：

1. 本试题满分150分，考试时间120分钟.

2. 答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上.

3. 将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合$ A=\left\{ {x|y=\sqrt{{2-x}}} \right\}$，$ B=\left\{ {x|{{{\log }}_{2}}x<1} \right\}$，则$ A\bigcap B=$（    ）

A.$ \left( {-\infty ,2} \right)$        B. $ \left( {0,2} \right)$        C. $ \left( {-\infty ,2} \right]$        D. $ \left( {0,2} \right]$

2. 已知平面向量$ \overrightarrow{a}$，$ \vec{b}$满足$ \left| {\vec{a}\left| {=4,} \right|\bar{b}} \right|=2,\vec{a}\cdot \left( {\overrightarrow{a}-\vec{b}} \right)=20$，则向量$ \overrightarrow{a}$与$ \vec{b}$的夹角为（    ）

A.$ \frac{\pi }{6}$        B.$ \frac{\pi }{3}$        C.$ \frac{{2\pi }}{3}$         D.$ \frac{{5\pi }}{6}$

3. 已知$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$为等差数列，其前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$，若$ {{a}_{1}}=1,{{a}_{3}}=5,{{S}_{n}}=64$，则$ n=$（    ）

A. 6         B. 7        C. 8       D. 9

4. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得$ n$次测量分别得到$ {{x}_{1}}$，$ {{x}_{2}}$，…，$ {{x}_{n}}$共$ n$个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”$ a$应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”$ a$应是（    ）

A. $ \frac{{\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{{{x}_{i}}}}}}{n}$        B. $ \frac{{\sqrt{{\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{x_{i}^{2}}}}}}}{n}$        C.$ \sqrt{{\frac{{\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{x_{i}^{2}}}}}{n}}}$        D.$ \frac{{\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{\frac{1}{{{{x}_{i}}}}}}}}{n}$

5. 棣莫弗公式$ {{\left( {\cos \theta +i\sin \theta } \right)}^{n}}=\cos n\theta +i\sin \theta $（$ i$为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的.若复数$ z$满足$ z\centerdot \left( {\cos \frac{\pi }{8}+i\cdot \sin \frac{\pi }{8}} \right)=\left| {1+i} \right|$，根据棣莫弗公式可知，复数$ z$对应的点在复平面内的（    ）

A. 第一象限        B. 第二象限       C. 第三象限        D. 第四象限

6. 将抛物线$ {{y}^{2}}=mx$绕其顶点顺时针旋转90°之后，正好与抛物线$ y=2{{x}^{2}}$重合，则$ m=$（     ）

A.$ -\frac{1}{2}$      B.$ \frac{1}{2}$        C. -2        D. 2

7. 函数$ f\left( x \right)=\left[ {\ln \left( {\pi -x} \right)+\ln x} \right]\cos x$的大致图像为（     ）

 

8. 2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（    ）

A. 2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递减

B. 2021年全国居民人均消费支出24100元

C. 2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降

D. 2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过60%

9. 在一个棱长为1分米的正方体形封闭容器中盛有$ V$升水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则$ V$的取值范围是（    ）

A.$ \left( {\frac{1}{6},\frac{5}{6}} \right)$        B.$ \left( {\frac{1}{3},\frac{2}{3}} \right)$        C.$ \left( {\frac{1}{2},\frac{2}{3}} \right)$       D.$ \left( {\frac{1}{6},\frac{1}{2}} \right)$

10. 已知直线$ l$过双曲线$ C:{{x}^{2}}-\frac{{{{y}^{2}}}}{2}=1$的左焦点$ F$且与$ C$的左、右两支分别交于$ A,B$两点，设$ O$为坐标原点，$ P$为$ AB$的中点，若$ \Delta OFP$是以$ FP$为底边的等腰三角形，则直线$ l$的斜率为（    ）

A.$ \pm \frac{{\sqrt{{15}}}}{5}$       B.$ \pm \frac{{\sqrt{{10}}}}{2}$       C.$ \pm \frac{{\sqrt{5}}}{5}$        D.$ \pm \frac{{\sqrt{2}}}{2}$

11. 在正方体$ ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$中，$ AB=4$，$ G$为$ C{{D}_{1}}$的中点，点$ P$在线段$ B{{C}_{1}}$（不含端点）上运动，点$ Q$在棱$ BC$上运动，$ M$为空间中任意一点，则下列结论不正确的是（    ）

A.异面直线$ DP$与$ A{{D}_{1}}$所成角的取值范围是$ \left( {\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}} \right]$

B. 若$ MA+MD=8$，则三棱锥$ A-MBD$体积的最大值为$ 5\sqrt{3}$

C.$ PQ+QG$的最小值为$ 2+2\sqrt{2}$

D.平面$ AC{{D}_{1}}$

12. 已知函数$ f\left( x \right)=\sin x+\ln x$，将$ f\left( x \right)$的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列$ \left\{ {{{x}_{n}}} \right\}$，对于$ \forall n\in {{N}_{+}}$，则下列说法中正确的是（    ）

A. $ n\pi <{{x}_{n}}<\left( {n+1} \right)\pi $                       B. $ {{x}_{{n+1}}}-{{x}_{n}}<\pi $

C. 数列$ \left\{ {\left| {{{x}_{n}}-\frac{{\left( {2n-1} \right)\pi }}{2}} \right|} \right\}$是递增数列          D. $ f\left( {{{x}_{{2n}}}} \right)<-1+\ln \frac{{\left( {4n-1} \right)\pi }}{2}$

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设$ a>0$，$ b>0$且$ \frac{a}{2}+b=\int_{0}^{1}{{3{{x}^{2}}dx}}$，则$ \frac{2}{{a+1}}+\frac{1}{b}$的最小值是____________.

14. 写出与圆$ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$和圆$ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-8y+9=0$都相切的一条直线的方程___________.

15. 甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从$ A,B,C,D,E$这5种菜中任意选用2种，则$ A$菜恰有2人选用的情形共有______________种.（用数字作答）

16. 若函数$ y=f\left( x \right),x\in R$的关系式由方程$ x\left| x \right|+y\left| y \right|=4$确定.则下述命题中所有真命题的序号为_____________.

①函数$ y=f\left( x \right)$是减函数；           ②函数$ y=f\left( x \right)$是奇函数；

③函数$ y=f\left( x \right)$的值域为$ \left[ {-2,2} \right]$      ④方程$ f\left( x \right)+x=0$无实数根：

⑤函数$ y=f\left( x \right)$的图像是轴对称图形.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼。通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，$ A-B-C-A$为某区的一条健康步道，$ AB,AC$为线段，$ \overset\frown{{BC}}$是以$ BC$为直径的半圆，$ AB=2\sqrt{3}km,AC=4km,\angle BAC=\frac{\pi }{6}$.

（1）求$ \overset\frown{{BC}}$的长度；

（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道$ A-D-C$（在$ AC$两侧），其中$ AD,CD$为线段.若$ \angle ADC=\frac{\pi }{3}$，求新建的健康步道$ A-D-C$的路程最多可比原有健康步道$ A-B-C$的路程增加多少长度？

18.（12分）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号$ n$次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为$ X$.

（1）当$ n=6$时，求$ P\left( {X\le 2} \right)$；

（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量$ Y$，若其数学期望$ E\left( Y \right)$和方差$ D\left( Y \right)$均存在，则对任意正实数$ a$，有$ P\left( {\left| {Y-E\left( Y \right)} \right|<a} \right)\ge 1-\frac{{D\left( Y \right)}}{{{{a}^{2}}}}$.根据该不等式可以对事件“$ \left| {Y-E\left( Y \right)} \right|<a$”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数$ n$的最小值.

19.（12分）在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面$ ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$中，侧面$ A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\bot $底面$ ABC$，底面$ \Delta ABC$是边长为2的正三角形，$ {{A}_{1}}A={{A}_{1}}C,{{A}_{1}}A\bot {{A}_{1}}C$.

 

（1）求证：$ {{A}_{1}}{{C}_{1}}\bot {{B}_{1}}C$；

（2）求二面角$ {{B}_{1}}-{{A}_{1}}C-{{C}_{1}}$的正弦值.

20.（12分）在直角坐标系$ xOy$中，已知椭圆$ E:\frac{{{{x}^{2}}}}{2}+{{y}^{2}}=1$的右顶点、下顶点、右焦点分别为$ A,B,F$.

（1）若直线$ BF$与椭圆$ E$的另一个交点为$ C$，求四边形$ ABOC$的面积；

（2）设$ M,N$是椭圆$ E$上的两个动点，直线$ OM$与$ ON$的斜率之积为$ -\frac{1}{2}$，若点$ P$满足：$ \overrightarrow{{OP}}=\overrightarrow{{OM}}+2\overrightarrow{{ON}}$.问：是否存在两个定点$ G,H$，使得$ \left| {PG} \right|+\left| {PH} \right|$为定值？若存在，求出$ G,H$的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（12分）已知函数$ f\left( x \right)={{e}^{x}},g\left( x \right)=\frac{{1+\ln x}}{x}-m$.$ \left( {m\in R} \right)$

（1）证明：$ f\left( x \right)\ge x+1$；

（2）若$ f\left( x \right)\ge g\left( x \right)$，求实数$ m$的取值范围；

（3）证明：$ \sum\limits_{{k=1}}^{n}{{{{{\left( {\frac{1}{k}} \right)}}^{k}}<\frac{e}{{e-1}}}}$.$ \left( {n\in {{N}_{+}}} \right)$

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系$ xOy$中，曲线$ C$的参数方程为$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=\frac{1}{{\cos \alpha }}} \\ {y=\frac{{\sqrt{3}\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \end{array}} \right.$（$ \alpha $为参数，$ \alpha \ne k\pi +\frac{\pi }{2}$，$ k\in Z$），以坐标原点$ O$为极点，$ x$轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线$ l$的极坐标方程为$ \rho \cos \left( {\theta +\frac{\pi }{3}} \right)=1$.

（1）求曲线$ C$的普通方程和直线$ l$的直角坐标方程；

（2）已知点$ P\left( {2,0} \right)$，若直线$ l$与曲线$ C$交于$ A,B$两点，求$ \left| {\frac{1}{{\left| {PA} \right|}}-\frac{1}{{\left| {PB} \right|}}} \right|$的值.

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数$ f\left( x \right)=\left| {x-a} \right|+2\left| {x-1} \right|$.

（1）当$ a=1$时，求$ f\left( x \right)$的最小值；

（2）若$ a>0,b>0$时，对任意$ x\in \left[ {1\text{,}2} \right]$使得不等式$ f\left( x \right)>{{x}^{2}}-b+1$恒成立，证明：

$ {{\left( {a+\frac{1}{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {b+\frac{1}{2}} \right)}^{2}}>2$.