2023年全国高等学校招生统一考试第八次适应性训练

高三数学（理科）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合$ \displaystyle A=\left\{ {x\left| {\ln \left( {x+2} \right)>0} \right.} \right\}$，集合$ \displaystyle B=\left\{ {x\in N\left| {\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right)\le 0} \right.} \right\}$，则$ \displaystyle A\bigcap B=$（        ）

A．$ \displaystyle \left\{ {0,1,2,3} \right\}$                           B．$ \displaystyle \left\{ {1,2,3} \right\}$                                C．$ \displaystyle \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}$                          D．$ \displaystyle \left\{ {-1,0,1,2,3} \right\}$

2．“$ \displaystyle -2<m<2$”是“$ \displaystyle {{x}^{2}}-mx+1>0$在$ \displaystyle x\in \left( {1,+\infty } \right)$上恒成立”的（        ）

A．充分不必要条件       B．必要不充分条件       C．充要条件             D．既不充分也不必要条件

3．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题正确的是（        ）

A．若，，，，则

B．若，$ \displaystyle m\bot \alpha $，$ \displaystyle n\bot \beta $，则

C．若$ \displaystyle m\bot n$，$ \displaystyle m\subset \alpha $，$ \displaystyle n\subset \beta $，则$ \displaystyle \alpha \bot \beta $

D．若$ \displaystyle m\bot n$，，$ \displaystyle n\bot \beta $，则$ \displaystyle \alpha \bot \beta $

4．中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工．“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹．据《格古要论》载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了．今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为（        ）

A．$ \displaystyle 2\sqrt{6}$                               B．6                                   C．$ \displaystyle 3\sqrt{6}$                                        D．$ \displaystyle 6\sqrt{6}$

5．已知平面向量$ \displaystyle \overrightarrow{a}$，$ \displaystyle \overrightarrow{b}$，$ \displaystyle \overrightarrow{c}$满足$ \displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，$ \displaystyle \left| {\overrightarrow{a}} \right|=\left| {\overrightarrow{b}} \right|=1$，$ \displaystyle \left( {\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}} \right)\cdot \left( {\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}} \right)=\frac{1}{2}$，则$ \displaystyle \left| {\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}} \right|$的最大值为（        ）

A．$ \displaystyle \sqrt{2}$                                            B．$ \displaystyle 1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$                                     C．$ \displaystyle \frac{3}{2}$                                               D．2

6．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$ \displaystyle 2b=a=4$，$ \displaystyle \sin C-\sqrt{3}\sin B=0$，则能将△ABC全部覆盖的所有圆中，最小的圆的面积为（        ）

A．$ \displaystyle \sqrt{3}\pi $                                  B．$ \displaystyle 4\pi $                                             C．$ \displaystyle 2\sqrt{3}\pi $                               D．$ \displaystyle 4\sqrt{3}\pi $

7．下列说法正确的是（        ）

A．已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8；

B．已知一组数据$ \displaystyle {{x}_{1}}$，$ \displaystyle {{x}_{2}}$，$ \displaystyle {{x}_{3}}$，…，$ \displaystyle {{x}_{{10}}}$的方差为2，则$ \displaystyle {{x}_{1}}+2$，$ \displaystyle {{x}_{2}}+2$，$ \displaystyle {{x}_{3}}+2$，…，$ \displaystyle {{x}_{{10}}}+2$的方差为4；

C．具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为$ \displaystyle y=0.2x-m$，若样本点的中心为$ \displaystyle \left( {m,3.2} \right)$，则$ \displaystyle m=4$；

D．若随机变量X服从正态分布$ \displaystyle N\left( {2,{{\sigma }^{2}}} \right)$，$ \displaystyle P\left( {X\le 3} \right)=0.64$，则$ \displaystyle P\left( {1\le X\le 2} \right)=0.14$

8．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式$ \displaystyle {{e}^{{ix}}}=\cos x+i\sin x$（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（        ）

A．$ \displaystyle {{e}^{{i\pi }}}+1=0$                         B．$ \displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i} \right)}^{{2022}}}=1$                 C．$ \displaystyle \left| {{{e}^{{ix}}}+{{e}^{{-ix}}}} \right|\ge 2$           D．$ \displaystyle -2\le {{e}^{{ix}}}-{{e}^{{-ix}}}\le 2$

9．若$ \displaystyle {{\log }_{4}}\left( {x+2y} \right)+{{\log }_{4}}\left( {x-2y} \right)=1$，则$ \displaystyle \left| x \right|-\left| y \right|$的最小值是（        ）

A．$ \displaystyle \sqrt{3}$                                            B．2                                   C．$ \displaystyle 2\sqrt{3}$                                        D．$ \displaystyle 4\sqrt{3}$

10．已知数列$ \displaystyle \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$满足：$ \displaystyle {{a}_{n}}+{{a}_{{n+2}}}=2{{a}_{{n+1}}}$对$ \displaystyle n\in {{N}^{*}}$恒成立，且$ \displaystyle \frac{{{{a}_{9}}}}{{{{a}_{8}}}}<-1$，其前n项和$ \displaystyle {{S}_{n}}$有最大值，则使得$ \displaystyle {{S}_{n}}>0$的最大的n的值是（        ）

A．10                                 B．12                                 C．15                                 D．17

11．已知双曲线C：$ \displaystyle \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>0,b>0} \right)$的下、上焦点分别为$ \displaystyle {{F}_{1}}$，$ \displaystyle {{F}_{2}}$，点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为D．若$ \displaystyle \left| {MD} \right|>\left| {{{F}_{1}}{{F}_{2}}} \right|-\left| {M{{F}_{2}}} \right|$恒成立，则C的离心率的取值范围为（        ）

A．$ \displaystyle \left( {1,\frac{5}{3}} \right)$                                B．$ \displaystyle \left( {\frac{5}{3},2} \right)$                                C．$ \displaystyle \left( {1,2} \right)$                                  D．$ \displaystyle \left( {\frac{5}{3},+\infty } \right)$

12．已知定义在R上的可导函数$ \displaystyle f\left( x \right)$满足$ \displaystyle f\left( 1 \right)=1$，且$ \displaystyle 2f’\left( x \right)>1$，当$ \displaystyle x\in \left[ {-\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]$时，不等式$ \displaystyle f\left( {2\cos x} \right)$$ \displaystyle +2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}>\frac{3}{2}$的解集为（        ）

A．$ \displaystyle \left( {\frac{\pi }{3},\frac{{4\pi }}{3}} \right)$                          B．$ \displaystyle \left( {-\frac{\pi }{3},\frac{{4\pi }}{3}} \right)$                      C．$ \displaystyle \left( {-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}} \right)$                         D．$ \displaystyle \left( {0,\frac{\pi }{3}} \right)$

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）

13．$ \displaystyle x{{\left( {1-\frac{2}{{\sqrt{x}}}} \right)}^{6}}$的展开式中的常数项为              ．

14．将8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲乙两个家庭不能连排在一起（甲乙两个家庭内部成员的顺序不予考虑），则这8张门票不同的分配方法有              种．

15．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\sin \left( {\cos x} \right)+\cos \left( {\sin x} \right)$给出下列4个结论：

①$ \displaystyle f\left( x \right)$是偶函数；②$ \displaystyle f\left( x \right)$在区间$ \displaystyle \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$上单调递减；③$ \displaystyle f\left( x \right)$的周期是p；④$ \displaystyle f\left( x \right)$的最大值为2；其中正确的结论有              ．

16．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( {x+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}} \right)+\frac{{2{{e}^{x}}}}{{{{e}^{x}}+1}}$在$ \displaystyle \left[ {-k,k} \right]\left( {k>0} \right)$上的最大值与最小值分别为M和m，则函数$ \displaystyle g\left( x \right)=\left( {M+m} \right)x+{{\left[ {\left( {M+m} \right)x-1} \right]}^{{-3}}}$的图象的对称中心是              ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知数列{$ \displaystyle \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$满足$ \displaystyle {{a}_{1}}=1$，$ \displaystyle {{a}_{2}}=3$，数列$ \displaystyle \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$为等比数列，且满足$ \displaystyle {{b}_{n}}\left( {{{a}_{{n+1}}}-{{a}_{n}}} \right)={{b}_{{n+1}}}$．

（Ⅰ）求数列$ \displaystyle \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的通项公式；

（Ⅱ）数列$ \displaystyle \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$的前n项和为$ \displaystyle {{S}_{n}}$，若              ，记数列$ \displaystyle \left\{ {{{c}_{n}}} \right\}$满足：，求数列$ \displaystyle \left\{ {{{c}_{n}}} \right\}$的前2n项的和$ \displaystyle {{T}_{{2n}}}$．

在①$ \displaystyle 2{{S}_{2}}={{S}_{3}}-2$；②$ \displaystyle {{b}_{2}}$，$ \displaystyle 2{{a}_{3}}$，$ \displaystyle {{b}_{4}}$，成等差数列；③$ \displaystyle {{S}_{6}}=126$这三个条件中任选一个补充在第（Ⅱ）问中，并对其求解．

18．（本小题满分12分）

如图1，四边形ABCD为矩形，BC＝2AB，E为AD的中点，将△ABE、△DCE分别沿BECE、折起得图2，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE．

（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面DCE；

（Ⅱ）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在$ \displaystyle \left[ {70,80} \right)$内的学生获三等奖，得分在$ \displaystyle \left[ {80,90} \right)$内的学生获二等奖，得分在$ \displaystyle \left[ {90,100} \right]$内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．

 

（Ⅰ）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；

（Ⅱ）若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布$ \displaystyle N\left( {\mu ,{{\sigma }^{2}}} \right)$，其中$ \displaystyle \sigma \approx 15$，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：

（ⅰ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；

（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为$ \displaystyle \xi $，求随机变量$ \displaystyle \xi $的分布列和期望．

附参考数据：若随机变量X服从正态分布$ \displaystyle N\left( {\mu ,{{\sigma }^{2}}} \right)$，则$ \displaystyle P\left( {\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma } \right)\approx 0.6827$，

$ \displaystyle P\left( {\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma } \right)\approx 0.9545$，$ \displaystyle P\left( {\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma } \right)\approx 0.9973$．

20．（本小题满分12分）

如图，椭圆$ \displaystyle {{C}_{1}}$：$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>b>0} \right)$的左右焦点分别为$ \displaystyle {{F}_{1}}$，$ \displaystyle {{F}_{2}}$，离心率为$ \displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过抛物线$ \displaystyle {{C}_{2}}$：$ \displaystyle {{x}^{2}}=4by$焦点F的直线交抛物线于MN，两点，当$ \displaystyle \left| {MF} \right|=\frac{7}{4}$时，M点在x轴上的射影为$ \displaystyle {{F}_{1}}$．连接NO，MO，并延长分别交$ \displaystyle {{C}_{1}}$于AB，两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为$ \displaystyle {{S}_{{\Delta OMN}}}$和$ \displaystyle {{S}_{{\Delta OAB}}}$，设$ \displaystyle \lambda =\frac{{{{S}_{{\Delta OMN}}}}}{{{{S}_{{\Delta OAB}}}}}$．

（Ⅰ）求椭圆$ \displaystyle {{C}_{1}}$和抛物线$ \displaystyle {{C}_{2}}$的方程；

（Ⅱ）求$ \displaystyle \lambda $的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=a\ln x-2x\left( {a\ne 0} \right)$．

（Ⅰ）讨论$ \displaystyle f\left( x \right)$的单调性；

（Ⅱ）当$ \displaystyle x>0$时，不等式$ \displaystyle \frac{{{{x}^{a}}}}{{{{e}^{{2x}}}}}-2f\left( x \right)\ge \cos \left[ {f\left( x \right)} \right]$恒成立，求a的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程是$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=\sqrt{7}\cos \varphi } \\ {y=\sqrt{7}\sin \varphi +2} \end{array}} \right.$（$ \displaystyle \varphi $为参数）．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为$ \displaystyle 2\rho \cos \left( {\theta +\frac{\pi }{3}} \right)-1=0$．

（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）若直线l与x轴交于点P，与曲线C分别交于A，B两点，求$ \displaystyle \left| {PA} \right|\cdot \left| {PB} \right|$的值．

23．（本小题满分10分）

已知$ \displaystyle a>0$，$ \displaystyle b>0$，$ \displaystyle a+b=1$．

（Ⅰ）求$ \displaystyle \sqrt{{a+1}}+\sqrt{{b+1}}$的最大值；

（Ⅱ）若不等式$ \displaystyle \left| {x+m} \right|-\left| {x+1} \right|\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$对任意x∈R及条件中的任意ab，恒成立，求实数m的取值范围．