名校真题：2023年西工大附中第八次适应性训练文科试卷
2023年全国普通高等学校招生统一考试第八次适应性训练
高三数学（文科）试题
一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．己知集合$ A=\left\{ {x\left| {\text{ln}\left( {x+2} \right)} \right\rangle 0} \right\}$，集合$ B=\left\{ {x\in \text{N}\mid \left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right)\le 0} \right\}$，则$ \displaystyle A\bigcap B=$（ ）
A．$ \left\{ {0,1,2,3} \right\}$ B．$ \left\{ {1,2,3} \right\}$ C．$ \displaystyle \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}$ D．$ \displaystyle \left\{ {-1,0,1,2,3} \right\}$
2．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10×1，10×2，…，10xn的方差为（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
3．“$ \displaystyle a=\frac{1}{4}$”是“对任意的正数$ x$，$ x+\frac{a}{x}\ge 1$恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知$ \displaystyle m,n$是两条不重合的直线，$ \displaystyle \alpha ,\beta $是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若$ \displaystyle m\parallel \alpha ,m\parallel \beta ,n\parallel \alpha ,n\parallel \beta $，则$ \displaystyle \alpha \parallel \beta $
B．若$ m\bot n,m\parallel \alpha ,n\bot \beta $，则$ \displaystyle \alpha \bot \beta $
C．若$ \displaystyle m\bot n,m\subset \alpha ,n\subset \beta $，则$ \displaystyle \alpha \bot \beta $
D．若$ \displaystyle m\parallel n,m\bot \alpha ,n\bot \beta $，则$ \displaystyle \alpha \parallel \beta $
5．已知幂函数$ f(x)=(m-1){{x}^{n}}$的图象过点$ (m,8)$．设$ \displaystyle a=f\left( {{{2}^{{0.3}}}} \right)$，$ \displaystyle b=f\left( {{{{0.3}}^{2}}} \right)$，$ \displaystyle c=f\left( {{{{\log }}_{2}}0.3} \right)$，则$ \displaystyle a$，$ b$，$ \displaystyle c$的大小关系是（ ）
A． B．$ a<c<b$
C．$ a<b<c$ D．$ c<b<a$
6．已知在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，角$ \displaystyle A,B,C$的对边分别为$ a,b,c$，且$ 2b=a=4,\text{sin}C-\sqrt{3}\text{sin}B=0$，则能将$ \displaystyle \vartriangle ABC$全部覆盖的所有圆中，最小的圆的面积为（ ）
A．$ \sqrt{3}\pi $ B．$ 4\pi $ C．$ \displaystyle 2\sqrt{3}\pi $ D．$ \displaystyle 4\sqrt{3}\pi $
7．已知平面向量$ \displaystyle \overrightarrow{a}$、$ \displaystyle \overrightarrow{b}$、$ \overrightarrow{c}$满足$ \displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，$ \left| {\overrightarrow{a}} \right|=\left| {\overrightarrow{b}} \right|=1$，$ \left( {\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}} \right)\cdot \left( {\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}} \right)=\frac{1}{2}$，则$ \left| {\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}} \right|$的最大值为（ ）
A．$ \sqrt{2}$ B．$ 1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ C．$ \displaystyle \frac{3}{2}$ D．$ 2$
8．设抛物线$ {{y}^{2}}=4x$的焦点为$ F$，直线$ \displaystyle l$：$ \displaystyle x=-2$，$ P$为抛物线上一点，$ \displaystyle PM\bot l$，$ M$为垂足，如果直线$ \displaystyle MF$的斜率为$ \frac{{\sqrt{3}}}{3}$，那么$ \displaystyle \left| {PF} \right|$等于（ ）
A．$ \displaystyle \frac{{15}}{4}$ B．$ \frac{9}{4}$ C．$ \frac{7}{4}$ D．$ \displaystyle \frac{3}{4}$
9．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\sqrt{3}\sin 2x-2{{\cos }^{2}}x+1$，将$ f\left( x \right)$的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的$ \displaystyle \frac{1}{2}$，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移$ \displaystyle 1$个单位长度，得到函数$ y=g\left( x \right)$的图象，若$ \displaystyle g\left( {{{x}_{1}}} \right)\cdot g\left( {{{x}_{2}}} \right)=9$，则$ \displaystyle \left| {{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} \right|$的值可能为（ ）
A．$ \frac{{5\pi }}{4}$ B．$ \displaystyle \frac{{3\pi }}{4}$ C．$ \displaystyle \frac{\pi }{2}$ D．$ \displaystyle \frac{\pi }{3}$
10．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式$ {{\text{e}}^{{\text{i}x}}}=\text{cos}x+\text{isin}x$（$ x\in \text{R},\text{i}$为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，下面四个结果中成立的个数是（ ）个
①$ \displaystyle {{\text{e}}^{{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }}}}+1=0$；
②$ \displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}\text{i}} \right)}^{{2022}}}=1$；
③$ \displaystyle \left| {{{\text{e}}^{{\text{i}x}}}+{{\text{e}}^{{-\text{i}x}}}} \right|\le 2$；
④$ -2\le {{\text{e}}^{{\text{i}x}}}-{{\text{e}}^{{-\text{i}x}}}\le 2$
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知双曲线$ \displaystyle C:\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1(a>0,b>0)$的下、上焦点分别为$ {{F}_{1}},{{F}_{2}}$，点$ M$在$ \displaystyle C$的下支上，过点$ M$作$ \displaystyle C$的一条渐近线的垂线，垂足为$ \displaystyle D$.若$ \displaystyle |MD|>\left| {{{F}_{1}}{{F}_{2}}} \right|-\left| {M{{F}_{2}}} \right|$恒成立，则$ \displaystyle C$的离心率的取值范围为（ ）
A．$ \displaystyle \left( {1,\frac{5}{3}} \right)$ B．$ \displaystyle \left( {\frac{5}{3},2} \right)$ C．$ (1,2)$ D．$ \displaystyle \left( {\frac{5}{3},+\infty } \right)$
12．已知函数$ f\left( x \right)=\text{lo}{{\text{g}}_{3}}\left( {x+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}} \right)+\frac{{2{{\text{e}}^{x}}}}{{{{\text{e}}^{x}}+1}}$在$ \left[ {-k,k} \right](k>0)$上的最大值与最小值分别为$ M$和$ \displaystyle m$，则$ \displaystyle M+m=$（ ）
A．$ -2$ B．0 C．2 D．4
二､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）
13．在区间$ \displaystyle \left( {0,\frac{1}{2}} \right)$内随机取一个数，则取到的数小于$ \frac{1}{3}$的概率为__________.
14．与直线$ x+y=0$相切于点$ N\left( {-2,2} \right)$的圆C过点$ M\left( {4,2} \right)$，则圆C的半径为______．
15．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为___________.
16．已知函数$ f\left( x \right)=\text{sin}\left( {\text{cos}x} \right)+\text{cos}\left( {\text{sin}x} \right)$，给出下列4个结论，其中结论正确的个数有__________个.
①$ f\left( x \right)$是偶函数；
②$ f\left( x \right)$在区间$ \left( {0,\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}} \right)$单调递减；
③$ f\left( x \right)$的周期是$ \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$；
④$ f\left( x \right)$的最大值为2
三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17．已知数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$满足$ \displaystyle {{a}_{1}}=1,{{a}_{2}}=3$，数列$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$为等比数列，且满足$ {{b}_{n}}\left( {{{a}_{{n+1}}}-{{a}_{n}}} \right)={{b}_{{n+1}}}$
(1)求数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的通项公式；
(2)数列$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$，且$ 2{{S}_{2}}={{S}_{3}}-2$，记数列$ \left\{ {{{c}_{n}}} \right\}$满足，求数列$ \left\{ {{{c}_{n}}} \right\}$的前$ \displaystyle 2n$项和$ {{T}_{{2n}}}$.
18．如图，已知三棱柱$ ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$的所有棱长均为2，$ \displaystyle \angle {{B}_{1}}BA=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$．
（Ⅰ）证明：$ \displaystyle {{B}_{1}}C\bot $平面$ \displaystyle AB{{C}_{1}}$；
（Ⅱ）若平面$ \displaystyle AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}\bot $平面$ \displaystyle ABC$，$ M$为$ \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}$的中点，求四棱锥$ \displaystyle {{B}_{1}}-AC{{C}_{1}}M$的体积．
19．第32届夏季奥林匹克运动会在2021年7月23日至8月8日在日本东京举行，中国奥运健儿获得38枚金牌，32枚银牌和18枚铜牌的好成绩，某大学为此举行了与奥运会有关的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：$ \left[ {30,40} \right),\left[ {40,50} \right),\cdots ,\left[ {90,100} \right]$，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)估计这100名学生测试分数的中位数；
(2)若分数在$ \left[ {30,40} \right),\left[ {40,50} \right),\left[ {50,60} \right)$内的频率分别为$ \displaystyle {{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}}$，且$ \displaystyle 2{{p}_{1}}+{{p}_{2}}=0.05$，估计100名学生测试分数的平均数；
20．如图，椭圆$ {{C}_{1}}$：$ \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1(a>b>0)$的左右焦点分别为$ {{F}_{1}},{{F}_{2}}$，离心率为$ \frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过抛物线$ {{C}_{2}}$：$ {{x}^{2}}=4by$焦点$ F$的直线交抛物线于$ M,N$两点，当$ |MF|=\frac{7}{4}$时，$ M$点在$ x$轴上的射影为$ {{F}_{1}}$，连接$ NO,MO)$并延长分别交$ {{C}_{1}}$于$ A,B$两点，连接$ AB$，$ \displaystyle \Delta OMN$与$ \displaystyle \Delta OAB$的面积分别记为$ {{S}_{{\Delta OMN}}}$，$ \displaystyle {{S}_{{\Delta OAB}}}$，设$ \displaystyle \lambda =$$ \frac{{{{S}_{{\Delta OMN}}}}}{{{{S}_{{\Delta OAB}}}}}$.
（1）求椭圆$ {{C}_{1}}$和抛物线$ {{C}_{2}}$的方程；
（2）求$ \lambda $的取值范围.
21．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=k\left( {x-1} \right){{e}^{x}}-{{x}^{2}}\left( {k\in R} \right)$．
（1）当$ k=1$时，求函数$ f\left( x \right)$的单调区间；
（2）若函数$ f\left( x \right)$有两个极值点，且极小值大于$ -5$，求实数$ \displaystyle k$的取值范围．
请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=\sqrt{7}\text{cos}\varphi } \\ {y=\sqrt{7}\text{sin}\varphi +2} \end{array}} \right.$（$ \varphi $为参数）．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为$ 2\rho \text{cos}\left( {\theta +\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}} \right)-1=0$．
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)若直线l与x轴交于点P，与曲线C分别交于A，B两点，求$ \left| {PA} \right|\cdot \left| {PB} \right|$的值．
23．已知$ \displaystyle a>0$，$ \displaystyle b>0$，$ a+b=1$.
（1）求$ \sqrt{{a+1}}+\sqrt{{b+1}}$的最大值；
（2）若不等式$ \displaystyle \left| {x+m} \right|-\left| {x+1} \right|\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$对任意$ x\in R$及条件中的任意$ a,b$恒成立，求实数$ \displaystyle m$ 的取值范围.