2023届高三年级数学（文科）试题

命题、审定：特聘教研员  文德靖    审校：朱景峰

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名.准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.

2..选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持纸面清洁，不折叠，不破损.

5.若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合$ \displaystyle A=\left\{ {-2,-1,0,1} \right\}$，集合$ \displaystyle B=\left\{ {x\left| {x<0} \right.} \right\}$，则$ \displaystyle A\cap B=$（    ）.

A.$ \displaystyle \left\{ {0,1} \right\}$                B.$ \displaystyle \left\{ {-2,-1} \right\}$                    C.$ \displaystyle \left\{ {-2,-1,0} \right\}$                D.$ \displaystyle \left[ {-2,0} \right)$

2.已知$ \displaystyle i$为虚数单位，$ \displaystyle \left( {2-i} \right)\cdot z=1-2i$，则复数$ \displaystyle z=$（    ）.

A.$ \displaystyle -\frac{3}{5}i$                 B.$ \displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$                    C.$ \displaystyle \frac{4}{5}-i$                 D.$ \displaystyle \frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$

3.设等差数列$ \displaystyle \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ \displaystyle n$项和为$ \displaystyle {{S}_{n}}$，且$ \displaystyle {{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}=51$，$ \displaystyle {{S}_{7}}=98$，则$ \displaystyle {{a}_{{100}}}=$（    ）.

A.285                   B.302                    C.316                    D.363

4.已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)$是实数集$ \displaystyle \mathbf{R}$上的减函数，则不等式$ \displaystyle f\left( {2-x} \right)>f\left( {x-2} \right)$的解集为（    ）.

A.$ \displaystyle \left( {-\infty ,2} \right)$              B.$ \displaystyle \left( {-\infty ,-2} \right)$                    C.$ \displaystyle \left( {2,+\infty } \right)$               D.$ \displaystyle \left( {-2,+\infty } \right)$

5.若焦点在$ \displaystyle x$轴上的双曲线$ \displaystyle a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}=1$的离心率为3，则$ \displaystyle a$与$ \displaystyle b$的关系为（    ）.

A.$ \displaystyle a+2b=0$                    B.$ \displaystyle 2a+b=0$                    C.$ \displaystyle a+8b=0$                    D.$ \displaystyle 8a+b=0$

6.在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，设$ \displaystyle \overrightarrow{{AC}}=\overrightarrow{a}$，$ \displaystyle \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{b}$，$ \displaystyle G$为$ \displaystyle \vartriangle ABC$的重心，则用向量$ \displaystyle \overrightarrow{a}$和$ \displaystyle \overrightarrow{b}$为基底表示向量$ \displaystyle \overrightarrow{{GC}}=$（    ）.

A.$ \displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$                    B.$ \displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$                      C.$ \displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$                     D.$ \displaystyle \overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

7.执行图示程序框图，则输出$ \displaystyle r$的值为（    ）.

A.-3               B.-2               C.0                D.3

8.$ \displaystyle x$、$ \displaystyle y$满足不等式组$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x-y\le -1,} \\ {x+y\le 2,} \\ {x\ge -1,} \\ {y\ge -1,} \end{array}} \right.$则$ \displaystyle z=6x-4y$的最大值为（    ）.

A.-6               B.-3               C.2                D.22

9.根据变量$ \displaystyle x$与$ \displaystyle y$的对应关系（如表），求得$ \displaystyle y$关于$ \displaystyle x$的线性回归方程为$ \displaystyle y=6.5x+17.5$，则表中$ \displaystyle m$的值为（    ）.

A.60              B.55              C.50              D.45

10.已知正四面体的各棱长均为3，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（    ）.

A.$ \displaystyle 9\pi $                     B.$ \displaystyle 12\pi $                  C.$ \displaystyle \frac{{27\pi }}{4}$                    D.$ \displaystyle \frac{{27\pi }}{2}$

11.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如右，则该截得几何体的体积为（    ）.

A.67.5                  B.$ \displaystyle 67.5\sqrt{2}$                  C.$ \displaystyle 67.5\sqrt{3}$                  D.$ \displaystyle 67.5\sqrt{5}$

 

12.将函数$ \displaystyle f\left( x \right)=2\sin \left( {x-\frac{\pi }{3}} \right)+1$的图像上所有点的横坐标缩小为原来的$ \displaystyle \frac{1}{3}$，纵坐标不变得到函数$ \displaystyle F\left( x \right)$的图像，则下列描述不正确的是（    ）.

A.函数$ \displaystyle F\left( x \right)$的最小正周期为$ \displaystyle \frac{{2\pi }}{3}$

B点$ \displaystyle \left( {\frac{\pi }{9},1} \right)$是函数$ \displaystyle F\left( x \right)$的图像与$ \displaystyle y$轴最近的一个对称中心

C.$ \displaystyle F\left( x \right)$的值域与缩小的倍数$ \displaystyle \frac{1}{3}$无关

D.直线$ \displaystyle x=\frac{{5\pi }}{{18}}$是函数$ \displaystyle F\left( x \right)$的图像与$ \displaystyle y$轴最近的一条对称轴

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）

13.函数$ \displaystyle g\left( x \right)={{\left( {3a{{x}^{2}}-\frac{2}{x}-{{x}^{2}}} \right)}^{5}}$为奇函数，则$ \displaystyle a=$___________.

14.过三点$ \displaystyle \left( {-1,2} \right)$、$ \displaystyle \left( {2,5} \right)$、$ \displaystyle \left( {7,2} \right)$的圆的圆心坐标为___________.

15.已知点$ \displaystyle P\left( {m,4\sqrt{2}} \right)$在抛物线$ \displaystyle \Gamma $：$ \displaystyle {{y}^{2}}=2px\left( {p>0} \right)$上，点$ \displaystyle F$为抛物线$ \displaystyle \Gamma $的焦点，且$ \displaystyle \left| {PF} \right|=6$，则抛物线$ \displaystyle \Gamma $的标准方程为___________.

16.已知数列$ \displaystyle \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$和数列$ \displaystyle \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$，$ \displaystyle {{a}_{n}}=2n-1$，$ \displaystyle {{b}_{n}}={{2}^{{-n}}}$.设$ \displaystyle {{c}_{n}}={{a}_{n}}\cdot {{b}_{n}}$，则数列$ \displaystyle \left\{ {{{c}_{n}}} \right\}$的前$ \displaystyle n$项和$ \displaystyle {{S}_{n}}=$_________.

三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

设$ \displaystyle \vartriangle ABC$的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知$ \displaystyle \cos A=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，$ \displaystyle \cos B=\frac{{5\sqrt{7}}}{{14}}$.

（Ⅰ）求C的值；

（Ⅱ）若$ \displaystyle a+b=12$，求$ \displaystyle \vartriangle ABC$的面积

18.（本小题满分12分）

红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成绩（满分150分），绘制成频率分布直方图（如图），成绩的分组区间为$ \displaystyle \left[ {60,70} \right),\left[ {70,80} \right),\left[ {80,90} \right),\cdot \cdot \cdot ,\left[ {140,150} \right]$.

（Ⅰ）求频率分布直方图中$ \displaystyle a$的值；

（Ⅱ）由样本估计总体﹑估计这次考试，年级成绩优秀（分数大于或等于120分即为优秀）人数和平均分数（用各组的中点值代替该组的平均值）.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥$ \displaystyle P-ABC$中，侧面$ \displaystyle PAB\bot $底面$ \displaystyle ABC$，$ \displaystyle \angle PAB=\angle BAC=150{}^\circ $，$ \displaystyle PA=AC=4$，$ \displaystyle AB=4\sqrt{3}$，E、F分别是PB、BC的中点.

（Ⅰ）求证：$ \displaystyle AB\bot EF$；

（Ⅱ）求四棱锥$ \displaystyle A-PEFC$的体积

20.（本小题满分12分）

已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=a{{e}^{{-x+1}}}\ln x+\frac{{b{{e}^{{-x}}}}}{{2x}}$（$ \displaystyle e$自然对数的底数）在点$ \displaystyle \left( {1,f\left( 1 \right)} \right)$处的切线方程为$ \displaystyle 2\left( {e-1} \right)-ey-2e+3=0$.

（Ⅰ）求$ \displaystyle a$，$ \displaystyle b$的值；

（Ⅱ）求证：函数$ \displaystyle f\left( x \right)$在区间$ \displaystyle \left( {\frac{1}{e},e} \right)$内有唯一零点.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆$ \displaystyle C$：$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>b>0} \right)$的焦点为$ \displaystyle {{F}_{1}}$、$ \displaystyle {{F}_{2}}$，离心率为$ \displaystyle \frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线$ \displaystyle l$：$ \displaystyle x+y+m=0$，$ \displaystyle {{F}_{1}}$、$ \displaystyle {{F}_{2}}$在直线$ \displaystyle l$上的射影分别为M、N，且$ \displaystyle \left| {MN} \right|=2\sqrt{2}$.

（Ⅰ）求椭圆$ \displaystyle C$的标准方程；

（Ⅱ）设直线$ \displaystyle l$与椭圆C交于A、B两点，$ \displaystyle P\left( {-2,0} \right)$.求$ \displaystyle \vartriangle ABP$的面积的最大值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.

22.[选修4-4：极坐标与参数方程]（本小题10分）

在直角坐标系$ \displaystyle xOy$中，直线$ \displaystyle l$的参数方程为$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=\frac{{4a}}{5}t+2,} \\ {y=-\frac{3}{5}t+m,} \end{array}} \right.$（$ \displaystyle t$为参数，$ \displaystyle a\in \mathbf{R}$）.以直角坐标系的原点$ \displaystyle O$为极点，$ \displaystyle x$轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为$ \displaystyle \rho =6\left( {\cos \theta -\sin \theta } \right)$.

（I）若$ \displaystyle a=1$，在极坐标系中，直线$ \displaystyle l$经过点$ \displaystyle A\left( {2\sqrt{2},\frac{{3\pi }}{4}} \right)$，求$ \displaystyle m$的值；

（Ⅱ）若$ \displaystyle m=-1$，直线$ \displaystyle l$与曲线S交于A、B两点，求$ \displaystyle \left| {AB} \right|$的最小值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）

已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\left| {x+2} \right|x+\left| {{{x}^{2}}-4} \right|$.

（Ⅰ）求不等式$ \displaystyle f\left( x \right)\ge 8$的解集；

（Ⅱ）当$ \displaystyle x\le -2$时，求证：$ \displaystyle f\left( x \right)\ge \frac{{{{x}^{2}}+8x+12}}{x}$.