咸阳市2023年高考模拟检测（二）

数学（理科）试题

第Ⅰ卷（选择题       共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足$ \displaystyle \text{i}z+1=\text{i}$，那么$ \displaystyle \left| z \right|=$（       ）

A．1                           B．$ \sqrt{2}$             C．$ \sqrt{3}$             D．2

2．已知集合$ M=\left\{ {x\left| {y=\sqrt{{x-1}}} \right.} \right\}$，$ N=\left\{ {x\left| {\frac{{x-2}}{{{{x}^{2}}+1}}<0} \right.} \right\}$，那么$ M\cap N=$（       ）

A．$ \left\{ {x\left| {1\le x\le 2} \right.} \right\}$                                  B．$ \left\{ {x\left| {x\ge 1} \right.} \right\}$                                   C．$ \left\{ {x\left| {1\le x<2} \right.} \right\}$  D．$ \left\{ {x\left| {1<x<2} \right.} \right\}$

3．某商场要将单价分别为36元$ \displaystyle /\text{kg}$,48元$ \displaystyle /\text{kg}$,72元$ \displaystyle /\text{kg}$的3种糖果按3:2:1的比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等.那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为（       ）

A．52元$ \displaystyle /\text{kg}$                  B．50元$ \displaystyle /\text{kg}$      C．48元$ \displaystyle /\text{kg}$                                   D．46元$ \displaystyle /\text{kg}$

4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下四个命题：

①若$ m\text{//}n$，$ \displaystyle n\subset \alpha $，则$ \displaystyle m//\alpha $                                 ②若$ m\subset \alpha $，$ \displaystyle m\bot \beta $，则$ \displaystyle \alpha \bot \beta $

③若$ \displaystyle m\bot \alpha $，$ \displaystyle m\bot \beta $，则$ \alpha \text{//}\beta $                                 ④若$ \displaystyle \alpha \bot \beta $，$ m\subset \alpha $，$ \displaystyle n\subset \beta $，则$ \displaystyle m\bot n$

其中正确的命题是（       ）

A．②③                      B．②④                      C．①③                      D．①②

5．函数$ f\left( x \right)=\frac{{x{{\text{e}}^{x}}}}{{\left| x \right|}}$的大致图象为（       ）

A． B． C．   D．

6．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=4\sin \left( {2x-\varphi } \right)$，当$ x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$时，$ f\left( x \right)$取得最小值，则$ \displaystyle \left| \varphi  \right|$的最小值是（       ）

A．$ \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$          B．$ \frac{{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{3}$ C．$ \displaystyle \frac{{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{6}$              D．$ \frac{{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{6}$

7．数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前n项和为$ {{S}_{n}}$，对一切正整数n，点$ \displaystyle \left( {n,{{S}_{n}}} \right)$在函数$ f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x$的图象上，$ \displaystyle {{b}_{n}}=\frac{2}{{\sqrt{{{{a}_{n}}}}+\sqrt{{{{a}_{{n+1}}}}}}}$（$ n\in {{\mathbf{N}}^{*}}$且$ n\ge 1$），则数列$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$的前n项和为$ \displaystyle {{T}_{n}}=$（       ）

A．$ \sqrt{{2n+1}}-\sqrt{{2n-1}}$                  B．$ \sqrt{{2n+3}}-1$ C．$ \sqrt{{2n}}-\sqrt{{2n-2}}$                                   D．$ \sqrt{{2n+3}}-\sqrt{3}$

8．已知直角三角形ABC，$ \displaystyle \angle C=90{}^\circ $，$ \displaystyle AC=4$，$ BC=3$，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（       ）

A．$ \displaystyle 12\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$   B．$ \displaystyle 16\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$     C．$ \displaystyle \frac{{48\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{5}$            D．$ \displaystyle \frac{{24\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{3}$

9．巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决．欧拉通过推导得出：$ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{{{{n}^{2}}}}+\cdots =\frac{{{{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{2}}}}{6}$．某同学为了验证欧拉的结论，设计了如图的算法，计算$ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{{{{{2023}}^{2}}}}$的值来估算，则判断框填入的是（       ）

A．$ \displaystyle n>2023$                              B．$ n\ge 2023$           C．$ \displaystyle n\le 2023$ D．$ \displaystyle n<2023$

10．2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（       ）

A．$ \frac{1}{{27}}$  B．$ \displaystyle \frac{1}{9}$                        C．$ \displaystyle \frac{8}{{27}}$                                   D．$ \displaystyle \frac{{16}}{{27}}$

11．已知双曲线C：$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>0,b>0} \right)$，c是双曲线的半焦距，则当$ \frac{{2a+3b}}{c}$取得最大值时，双曲线的离心率为（       ）

A．$ \displaystyle \frac{{\sqrt{{13}}}}{2}$     B．$ \frac{{\sqrt{{10}}}}{2}$    C．$ \frac{{\sqrt{5}}}{2}$                                   D．$ \frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

12．已知实数$ \displaystyle a>0$，$ \text{e}=2.718$…，对任意$ \displaystyle x\in \left( {-1,+\infty } \right)$，不等式$ {{\text{e}}^{x}}\ge a\text{e}\left[ {2+\ln \left( {ax+a} \right)} \right]$恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A．$ \displaystyle \left( {0,\frac{1}{\text{e}}} \right]$                         B．$ \displaystyle \left[ {\frac{1}{\text{e}},1} \right)$                        C．$ \displaystyle \left( {0,\frac{2}{\text{e}}} \right)$      D．$ \left( {\frac{2}{\text{e}},1} \right)$

第Ⅱ卷（非选择题       共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．$ \displaystyle {{\left( {2x-\frac{1}{x}} \right)}^{5}}$的展开式中$ {{x}^{3}}$的系数为______.

14．过抛物线$ \displaystyle y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}$的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为$ \displaystyle 45{}^\circ $，则线段AB的中点到x轴的距离是______________．

15．已知非零向量$ \displaystyle \overrightarrow{a}$，$ \displaystyle \overrightarrow{b}$，$ \overrightarrow{c}$满足$ \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，$ \displaystyle \overrightarrow{a}$，$ \displaystyle \overrightarrow{b}$的夹角为120°，且$ \left| {\overrightarrow{b}} \right|=\left| {\overrightarrow{a}} \right|$，则向量$ \displaystyle \overrightarrow{a}$，$ \overrightarrow{c}$的数量积为______________．

16．如图，已知在扇形OAB中，半径$ \displaystyle OA=OB=2$，$ \angle AOB=\frac{\pi }{3}$，圆$ \displaystyle {{O}_{1}}$内切于扇形OAB（圆$ \displaystyle {{O}_{1}}$和OA、OB、弧AB均相切），作圆$ \displaystyle {{O}_{2}}$与圆$ \displaystyle {{O}_{1}}$、OA、OB相切，再作圆$ {{O}_{3}}$与圆$ \displaystyle {{O}_{2}}$、OA、OB相切，以此类推．设圆$ \displaystyle {{O}_{1}}$、圆$ \displaystyle {{O}_{2}}$……的面积依次为$ {{S}_{1}}$，$ {{S}_{2}}$……，那么$ {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\cdots \cdots +{{S}_{{10}}}=$______________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$ A=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$，$ \displaystyle \sin B\sin C=\frac{2}{3}$．

(1)求$ \cos B\cos C$；

(2)若$ a=3$，求△ABC的周长．

18．如图，直四棱柱$ ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$的底面是菱形$ \displaystyle A{{A}_{1}}=8$，$ AB=4$，$ \angle BAD=60{}^\circ $，E，M，N分别是BC，$ \displaystyle B{{B}_{1}}$，$ \displaystyle {{A}_{1}}D$的中点．

(1)证明：$ MN\text{//}$平面$ \displaystyle {{C}_{1}}DE$；

(2)求二面角$ A-M{{A}_{1}}-N$的正弦值．

19．2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为$ \displaystyle \frac{3}{5}$，乙在一次发球中，得1分的概率为$ \displaystyle \frac{1}{2}$，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．

(1)甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；

(2)求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．

20．椭圆C：$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1\left( {a>b>0} \right)$的左、右焦点分别为$ {{F}_{1}}$、$ {{F}_{2}}$，且椭圆C过点$ \displaystyle \left( {-2,0} \right)$，离心率为$ \displaystyle \frac{1}{2}$．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点$ M\left( {{{x}_{1}},{{y}_{1}}} \right)$是椭圆$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{m}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{n}^{2}}}}=1\left( {m>n>0} \right)$上任一点，那么椭圆在点M处的切线方程为$ \frac{{{{x}_{1}}x}}{{{{m}^{2}}}}+\frac{{{{y}_{1}}y}}{{{{n}^{2}}}}=1$．已知$ \displaystyle N\left( {{{x}_{0}},{{y}_{0}}} \right)$是（1）中椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于切线的直线分别与y轴交于点P、Q．求证：点P、N、Q、$ {{F}_{1}}$、$ {{F}_{2}}$在同一圆上．

21．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}-x-a{{x}^{2}}-1\left( {a\in \text{R}} \right)$.

(1)当$ a=\frac{1}{2}$时,求函数$ f\left( x \right)$的零点;

(2)对于任意的$ x>0$,恒有$ f\left( x \right)>0$,求实数$ \displaystyle a$的取值范围.

（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=t} \\ {y={{t}^{2}}} \end{array}} \right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$ \rho \cos \theta +\rho \sin \theta -2=0$．

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于P，$ Q$两点，且点$ \displaystyle M\left( {0,2} \right)$，求$ \frac{1}{{\left| {MP} \right|}}+\frac{1}{{\left| {MQ} \right|}}$的值．

【选修4-5·不等式选讲】

23．已知$ f\left( x \right)=2\left| {x+1} \right|-\left| {x-m} \right|$，$ m>1$．

(1)若$ \displaystyle m=2$，求不等式$ f\left( x \right)>2$的解集；

(2)$ \displaystyle g\left( x \right)=f\left( x \right)-\left| {x-m} \right|$，若$ g\left( x \right)$图象与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的取值范围．