奇思妙解：巧用共线妙解向量
秒杀结论
设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得$ \overrightarrow{{\mathbf{OP}}}$=λ$ \overrightarrow{{\mathbf{OA}}}$+μ$ \overrightarrow{{\mathbf{OB}}}$,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,$ \overrightarrow{{\mathbf{OP}}}$=$ \frac{1}{2}\overrightarrow{{\mathbf{OA}}}$+$ \frac{1}{2}\overrightarrow{{\mathbf{OB}}}$.
| 例．已知为$ \displaystyle \vartriangle ABC$的中线，点$ \displaystyle G$是$ \displaystyle AD$的中点，过点$ \displaystyle G$的直线分别交边$ \displaystyle AB$、$ AC$于$ \displaystyle M$、$ \displaystyle N$两点．若$ \overrightarrow{{AM}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{{AB}}$，$ \displaystyle \overrightarrow{{AN}}=\lambda \overrightarrow{{AC}}$，则$ \displaystyle \lambda =$（ ）
A．$ \frac{3}{8}$ B．$ \frac{5}{8}$ C．$ \displaystyle \frac{9}{{16}}$ D．$ \displaystyle \frac{7}{{24}}$ 【详解】 证明：由题意可知，$ \overrightarrow{{PR}}\text{//}\overrightarrow{{PQ}}$，则存在$ \displaystyle x\in R$使得$ \overrightarrow{{PR}}=x\overrightarrow{{PQ}}$，即$ \overrightarrow{{OR}}-\overrightarrow{{OP}}=x\left( {\overrightarrow{{OQ}}-\overrightarrow{{OP}}} \right)$， $ \therefore \overrightarrow{{OR}}=\left( {1-x} \right)\overrightarrow{{OP}}+x\overrightarrow{{OQ}}$，$ \because \overrightarrow{{OR}}=m\overrightarrow{{OP}}+n\overrightarrow{{OQ}}$，则$ \displaystyle m=1-x$，$ n=x$，$ \displaystyle \therefore m+n=1$. 如下图所示，因为$ \displaystyle G$为$ \displaystyle AD$的中点，所以$ \displaystyle \overrightarrow{{AG}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{AD}}=\frac{1}{4}\left( {\overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AC}}} \right)$．
所以$ \displaystyle \overrightarrow{{AB}}=\frac{4}{3}\overrightarrow{{AM}}$，所以$ \displaystyle \overrightarrow{{AG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{AM}}+\frac{1}{4}\overrightarrow{{AC}}$．因为$ \displaystyle \overrightarrow{{AN}}=\lambda \overrightarrow{{AC}}$，所以$ \displaystyle \overrightarrow{{AC}}=\frac{1}{\lambda }\overrightarrow{{AN}}$，所以$ \displaystyle \overrightarrow{{AG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{AM}}+\frac{1}{{4\lambda }}\overrightarrow{{AN}}$．因为$ \displaystyle G$、$ \displaystyle M$、$ \displaystyle N$三点共线，所以$ \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{{4\lambda }}=1$，解得$ \displaystyle \lambda =\frac{3}{8}$ |
你学废了吗？