真题预览

高二数学试卷（理科）

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：北师大版必修5占30%，选修2-1占70%.

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．椭圆$ C:\frac{{{{x}^{2}}}}{4}+\frac{{{{y}^{2}}}}{3}=1$的长轴为（       ）

A．1                           B．2                           C．3                           D．4

2．在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，内角$ \displaystyle A,B,C$的对边分别为$ a,b,c$，若$ c=3,b=4,A=\frac{\pi }{3}$，则$ \displaystyle a=$（       ）

A．$ \sqrt{{13}}$                                 B．$ \displaystyle 2\sqrt{3}$                              C．5                                  D．6

3．已知$ p:\forall x>0,{{x}^{2}}+3x>0;q:\exists x\in \mathbf{R},{{x}^{2}}+1=0$.则下列命题中，真命题是（       ）

A．$ \displaystyle \neg p\wedge q$                       B．$ \neg p\vee q$

C．$ \displaystyle p\wedge \neg q$                       D．$ p\wedge q$

4．如图，在四面体$ \displaystyle PABC$中，E是$ AC$的中点，$ \displaystyle \overrightarrow{{BF}}=3\overrightarrow{{FP}}$，设$ \displaystyle \overrightarrow{{PA}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{{PB}}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{{PC}}=\overrightarrow{c}$，则$ \overrightarrow{{FE}}=$（       ）

A．$ \displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$                                                                     B．$ \displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{4}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

C．$ \displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}$                                                                     D．$ \displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{4}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$

5．已知等比数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项乘积为$ {{T}_{n}}$，若$ {{T}_{2}}={{T}_{5}}$，则$ \displaystyle {{a}_{4}}=$（       ）

A．1                           B．2                           C．3                           D．4

6．已知双曲线$ \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1(a>0,b>0)$的一条渐近线方程为$ \displaystyle 3x+4y=0$，则该双曲线的离心率是（       ）

A．$ \displaystyle \frac{4}{3}$   B．$ \displaystyle \frac{5}{3}$     C．$ \frac{5}{4}$                                   D．$ \frac{{\sqrt{5}}}{2}$

7．已知空间三点$ A\left( {2,1,-1} \right),B\left( {1,0,2} \right),C\left( {0,3,-1} \right)$，则$ \displaystyle C$到直线$ AB$的距离为（       ）

A．$ \sqrt{5}$     B．$ 2\sqrt{2}$  C．$ \sqrt{6}$     D．$ \sqrt{{19}}$

8．已知数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$满足$ {{a}_{n}}={{a}_{{n-1}}}+d$，$ \displaystyle n\ge 2$，$ n\in \text{N}$，则“$ \displaystyle {{a}_{m}}-{{a}_{n}}=2d$”是“$ \displaystyle m-n=2$”的（       ）

A．充分必要条件                                          B．充分不必要条件

C．必要不充分条件                                       D．既不充分也不必要条件

9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马$ \displaystyle P-ABCD$中，$ PA\bot $平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，$ \displaystyle PA=AB=2$，若$ OG//$平面$ \displaystyle EFC$，则$ \displaystyle AG=$（       ）

A．$ \displaystyle \frac{1}{2}$   B．$ \displaystyle \frac{3}{4}$     C．$ \frac{2}{3}$                                   D．1

10．设$ |a|<1$，则$ \frac{1}{{1-a}}+\frac{2}{{1+a}}$的最小值为（       ）

A．$ \displaystyle \sqrt{2}+\frac{3}{2}$                  B．$ \displaystyle \frac{3}{2}-\sqrt{2}$               C．1                           D．2

11．已知$ P$为抛物线$ C:{{x}^{2}}=-16y$上一点，$ F$为焦点，过$ P$作$ \displaystyle C$的准线的垂线，垂足为$ H$，若$ \displaystyle \vartriangle PFH$的周长不小于30，则点$ P$的纵坐标的取值范围是（       ）

A．$ \left( {-\infty ,-5} \right]$   B．$ \displaystyle \left( {-\infty ,-4} \right]$

C．$ \displaystyle \left( {-\infty ,-2} \right]$   D．$ \displaystyle \left( {-\infty ,-1} \right]$

12．如图，平行六面体$ ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$的体积为$ 48\sqrt{2},\angle {{A}_{1}}AB=\angle {{A}_{1}}AD,A{{A}_{1}}=6,AB=AD=4$，且$ \angle DAB=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3},M,N,P$分别为$ AB,C{{C}_{1}},{{C}_{1}}{{D}_{1}}$的中点，则（       ）

A．$ MN\parallel AP$                     B．$ MP$$ \parallel $平面$ \displaystyle BDN$

C．$ \displaystyle DN\bot {{A}_{1}}C$      D．$ P$到平面$ \displaystyle MNC$的距离为$ \displaystyle \frac{{4\sqrt{{38}}}}{{19}}$

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．已知双曲线$ \displaystyle C:\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-{{y}^{2}}=1(a>0)$的焦距为10，则$ \displaystyle a=$__________.

14．若$ x,y$满足约束条件则$ \displaystyle z=y-x$的最小值为__________.

15．如图，在直三棱柱$ ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$中，$ \displaystyle B{{B}_{1}}=2$，E，F分别为棱$ \displaystyle AB,{{A}_{1}}{{C}_{1}}$的中点，则$ \displaystyle \overrightarrow{{EF}}\cdot \overrightarrow{{B{{B}_{1}}}}=$_____________．

16．已知椭圆$ C:\frac{{{{x}^{2}}}}{4}+{{y}^{2}}=1$的左､右焦点分别为$ {{F}_{1}},{{F}_{2}},P$为椭圆$ \displaystyle C$上的一点，若$ \text{cos}\angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}=-\frac{1}{3}$，则$ \displaystyle \left| {P{{F}_{1}}} \right|\cdot \left| {P{{F}_{2}}} \right|=$__________.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知抛物线$ C:{{y}^{2}}=-2px(p>0),A\left( {-6,{{y}_{0}}} \right)$是抛物线$ \displaystyle C$上的点，且$ \displaystyle \left| {AF} \right|=10$.

(1)求抛物线$ \displaystyle C$的方程；

(2)已知直线$ \displaystyle l$交抛物线$ \displaystyle C$于$ M,N$两点，且$ MN$的中点为$ \displaystyle \left( {-4,2} \right)$，求直线$ \displaystyle l$的方程.

18．已知数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前n项和为$ {{S}_{n}}$，且$ \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{n(n+7)}}{2}$．

(1)求$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的通项公式；

(2)设$ \displaystyle {{b}_{n}}=\frac{1}{{{{a}_{n}}{{a}_{{n+1}}}}}$，求数列$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$的前n项和$ {{T}_{n}}$．

19．如图，在长方体$ ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$中，$ \displaystyle AB=AD=6$，$ \displaystyle A{{A}_{1}}=8$.

(1)求异面直线$ \displaystyle A{{C}_{1}}$与$ \displaystyle {{A}_{1}}B$所成角的余弦值；

(2)求直线$ AC$与平面$ {{A}_{1}}BD$所成角的正弦值.

20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$ \frac{b}{a}=\text{sin}C-\text{sin}\left( {A-B} \right)$.

(1)求$ A$；

(2)设$ a=2$，当$ \displaystyle b+\sqrt{2}c$的值最大时，求△ABC的面积．

21．如图，在四棱锥$ \displaystyle P-ABCD$中，$ \displaystyle ABCD$是边长为2的菱形，且$ \displaystyle \angle DAB=60{}^\circ $，$ \displaystyle PA=PD=\sqrt{{10}}$，$ \displaystyle PB=3\sqrt{2}$，E，F分别是$ BC,PC$的中点．

(1)证明：平面$ PAD\bot $平面$ \displaystyle DEF$．

(2)求二面角$ \displaystyle A-PB-C$的大小．

22．已知双曲线$ C:\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1(a>0,b>0)$的右焦点为$ (\sqrt{7},0)$，渐近线方程为$ \displaystyle y=\pm \frac{{\sqrt{3}}}{2}x$．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以$ \displaystyle EF$为直径的圆经过点D，且$ \displaystyle DG\bot EF$于点G，证明：存在定点H，使$ |GH|$为定值．

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