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2023年高新一中南校区高一下第一次月考

一．选择题（共9小题）

1. 已知集合$ A=\left\{ {x\left| {2\le x<4} \right.} \right\}$，集合$ B=\left\{ {x\left| {{{x}^{2}}-3x+2<0} \right.} \right\}$，则$ A\cup B=$（    ）

A. $ \varnothing $               B. $ \left\{ {x\left| {1<x<2} \right.} \right\}$                  C. $ \left\{ {x\left| {2\le x<4} \right.} \right\}$ D. $ \left\{ {x\left| {1<x<4} \right.} \right\}$

2. 如果向量$ \displaystyle \vec{a}=(0,1)$，$ \displaystyle \vec{b}=(-2,1)$，那么$ \displaystyle |\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=$

A  6                                  B. 5                                   C. 4                                   D. 3

3. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量$ \vec{m}=(\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$ -\frac{{\sqrt{2}}}{2})$，$ \displaystyle \vec{n}=(\sin x,\cos x)$，$ \displaystyle x\in (0,\pi )$，若$ \displaystyle \vec{m}//\vec{n}$，则$ \displaystyle \tan x$的值（    ）

A. 4                                   B. 3                                   C. $ -1$                             D. 0

4. 已知向量$ \vec{a}=\left( {x+1,1} \right)$，$ \vec{b}=\left( {1,\frac{2}{x}} \right)$，若$ x>0$，则$ \displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ 最小值为（    ）

A. $ 2\sqrt{2}$                   B. $ \displaystyle 1+2\sqrt{2}$                                     C. $ 2+2\sqrt{2}$       D. $ 2\sqrt{2}-1$

5. 已知$ \displaystyle \overrightarrow{a}$，$ \displaystyle \overrightarrow{b}$为不共线的非零向量，$ \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}$，$ \overrightarrow{{BC}}=-2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow{b}$，$ \overrightarrow{{CD}}=3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$，则（    ）

A. $ A$，$ B$，$ \displaystyle C$三点共线                 B. $ A$，$ B$，$ \displaystyle D$三点共线

C. $ B$，$ \displaystyle C$，$ \displaystyle D$三点共线  D. $ A$，$ \displaystyle C$，$ \displaystyle D$三点共线

6. 将函数$ \displaystyle f\left( x \right)=2\sin \left( {3x+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}} \right)$先向右平移$ \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{{18}}$个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的$ \frac{3}{\omega }\left( {\omega >0} \right)$倍（纵坐标不变），则所得函数$ g\left( x \right)$图象，若$ g\left( x \right)$在区间上的最小值为$ -2$，则$ \displaystyle \omega $的最小值等于（    ）

A  $ \frac{2}{3}$              B. $ \displaystyle \frac{3}{2}$                                     C. $ 2$ D. $ 3$

7. 已知图中的圆$ A$，圆$ \displaystyle D$的半径均为2，$ \vartriangle ABE$，$ \displaystyle \vartriangle BEC$，$ \displaystyle \vartriangle ECD$均是边长为$ \displaystyle 2\sqrt{3}$的等边三角形.设点$ P$为圆$ \displaystyle D$上的一点，则$ \displaystyle \overrightarrow{{BD}}\cdot \overrightarrow{{AP}}$的最小值为（    ）

A. 22                                 B. 24                                 C. -26                                D. -48

二．多选题（共3小题15分）

8. 已知非零平面向量$ \vec{a}$，$ \vec{b}$，$ \vec{c}$，下列结论中正确的是（    ）

A. 若$ \displaystyle \vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$，则$ \displaystyle \vec{a}=\vec{b}$；

B. 若$ \left| {\vec{a}+\vec{b}} \right|=\left| {\vec{a}} \right|+\left| {\vec{b}} \right|$，则$ \vec{a}\parallel \vec{b}$；

C. 若$ \displaystyle \left| {\vec{a}+\vec{b}} \right|=\left| {\vec{a}-\vec{b}} \right|$，则$ \vec{a}\bot \vec{b}$；

D. 若$ \displaystyle \left( {\vec{a}+\vec{b}} \right)\cdot \left( {\vec{a}-\vec{b}} \right)=0$，则$ \displaystyle \vec{a}=\vec{b}$或$ \vec{a}=-\vec{b}$．

9. 关于函数$ f(x)=|\ln |2-x||$，下列描述正确的有（    ）

A. 函数$ \displaystyle f(x)$在区间$ (1,2)$上单调递增

B. 函数$ \displaystyle y=f(x)$的图象关于直线$ x=2$对称

C. 若$ \displaystyle {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$，但$ f\left( {{{x}_{1}}} \right)=f\left( {{{x}_{2}}} \right)$，则$ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2$

D. 函数$ \displaystyle f(x)$有且仅有两个零点

10. 已知函数$ f\left( x \right)=\sin \left( {\omega x+\frac{\pi }{4}} \right)$（$ \omega >0$）在区间$ \displaystyle \left[ {0,\pi } \right]$上有且仅有$ \displaystyle 4$条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ）

A. $ f\left( x \right)$在区间$ \left( {0,\pi } \right)$上有且仅有$ 3$个不同的零点

B. $ f\left( x \right)$ 最小正周期可能是$ \displaystyle \frac{\pi }{2}$

C. $ \displaystyle \omega $的取值范围是$ \displaystyle \left[ {\frac{{13}}{4},\frac{{17}}{4}} \right)$

D. $ f\left( x \right)$在区间$ \displaystyle \left( {0,\frac{\pi }{{15}}} \right)$上单调递增

三．填空题（共4小题）

11. 已知向量$ \vec{a}=\left( {2,1} \right)$，$ \displaystyle \vec{b}=\left( {1,-2} \right)$．若$ \displaystyle m\vec{a}+n\vec{b}=\left( {9,-8} \right)\left( {m,n\in R} \right)$，则$ m-n$的值为________；

12. 已知非零向量$ \overrightarrow{a}=\left( {t,0} \right)$，$ \overrightarrow{b}=\left( {-1,\sqrt{3}} \right)$，若$ \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$与$ \displaystyle \overrightarrow{a}$的夹角等于$ \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$与$ \displaystyle \overrightarrow{b}$的夹角，则$ \displaystyle t=$__________．

13. 在平行四边形 $ ABCD$中，$ AD=1,\angle BAD=60{}^\circ $，$ \displaystyle E$为 $ CD$的中点．若$ \overrightarrow{{AD}}\cdot \overrightarrow{{EB}}=2$，则$ AB$的为__________．

14. 已知$ \vartriangle ABC$为等边三角形，$ AB=2$，$ \vartriangle ABC$所在平面内的点$ P$满足$ \left| {\overrightarrow{{AP}}-\overrightarrow{{AB}}-\overrightarrow{{AC}}} \right|=1,\left| {\overrightarrow{{AP}}} \right|$的最小值为____________．

四．解答题（共5小题50分）

15. 已知向量$ \vec{a}=\left( {1,2} \right)$，$ \vec{b}=\left( {-3,1} \right)$，$ \vec{c}=\left( {1,\lambda } \right)$，

（1）若$ \vec{c}\parallel \left( {2\vec{a}+\vec{b}} \right)$，求实数$ \lambda $的值；

（2）向量$ \vec{a}+k\vec{b}$，$ \displaystyle \vec{a}-k\vec{b}$互相垂直，试求$ \displaystyle k$的值．

16. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足$ 0<t\le 24$，$ \displaystyle t\in \mathbf{N}$.经测算，当$ \displaystyle 16\le t\le 24$时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当$ \displaystyle 0<t<16$时，候车人数会减少，减少人数与$ \displaystyle t(16-t)$成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为$ f(t)$.

（1）求$ f(t)$ 表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；

（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为$ \displaystyle P=\frac{{f(t)-3160}}{t}+320$，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?

17. 已知向量$ \overrightarrow{a}=\left( {\sin \omega x,\cos \omega x} \right)$，$ \vec{b}=\left( {\sqrt{3}\cos \omega x,3\cos \omega x} \right)$，其中$ \omega >0$．$ \displaystyle {{x}_{1}}$，$ \displaystyle {{x}_{2}}$是函数$ f\left( x \right)=2\left( {\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}} \right)\cdot \overrightarrow{a}-1$的两个零点，且$ \displaystyle {{\left| {{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} \right|}_{{\min }}}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$

（1）求函数$ f\left( x \right)$的单调增区间；

（2）记$ g\left( x \right)=\frac{{3-m\cdot {{3}^{x}}}}{{{{3}^{x}}}}$，若对于任意的$ \displaystyle {{x}_{1}}\in \left[ {-1,2} \right]$，存在$ {{x}_{2}}\in \left[ {0,\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}} \right]$，使得$ \displaystyle g\left( {{{x}_{1}}} \right)\ge f\left( {{{x}_{2}}} \right)$，求实数$ \displaystyle m$的取值范围．

18. 在直角梯形$ \displaystyle ABCD$中，已知$ \displaystyle AB\parallel DC$，$ AD\bot AB$，$ \displaystyle CD=1$，$ \displaystyle AD=2$，$ AB=3$，动点$ \displaystyle E$、$ F$分别在线段$ \displaystyle BC$和$ \displaystyle DC$上，$ \displaystyle AE$和$ BD$交于点$ M$，且$ \overrightarrow{{BE}}=\lambda \overrightarrow{{BC}}$，$ \overrightarrow{{DF}}=\left( {1-\lambda } \right)\overrightarrow{{DC}}$，$ \displaystyle \lambda \in \mathbf{R}$．

（1）当$ \displaystyle \overrightarrow{{AE}}\cdot \overrightarrow{{BC}}=0$时，求$ \lambda $的值；

（2）当$ \displaystyle \lambda =\frac{2}{3}$时，求$ \frac{{DM}}{{MB}}$的值；

（3）求$ \left| {\overrightarrow{{AF}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{AE}}} \right|$的取值范围．

19. 已知向量$ \displaystyle \vec{a}=\left( {x,1} \right)$，$ \vec{b}=\left( {m,{{{\log }}_{2}}\left( {{{4}^{x}}+1} \right)} \right)$，定义函数$ f\left( x \right)=\vec{a}\cdot \vec{b}$．

（1）若函数$ f\left( x \right)$为偶函数，求实数$ \displaystyle m$的值；

（2）当$ m>0$时，关于$ x$的方程$ \displaystyle f\left[ {8{{{\left( {{{{\log }}_{4}}x} \right)}}^{2}}+2{{{\log }}_{2}}\frac{1}{x}+\frac{4}{m}-4} \right]=1$，在区间$ \displaystyle \left[ {1,2\sqrt{2}} \right]$上恰有两个不同的实数解，求实数$ \displaystyle m$的范围．

 

 

 

 

 

 

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