1977年普通高等学校招生数学试题

（河北省）

1．解答下列各题：

（1）叙述函数的定义

（2）求函数$ y=1-\frac{1}{{\sqrt{{2-3x}}}}$的定义域

（3）计算$ [1-{{(0.5)}^{{-2}}}]\div {{(-\frac{{27}}{8})}^{{\frac{1}{3}}}}.$

（4）计算$ {{\log }_{4}}2.$

（5）分解因式x²y-2y³.

（6）计算$ \sin \frac{{4\pi }}{3}\cdot \cos \frac{{25\pi }}{6}\cdot tg(-\frac{{3\pi }}{4}).$

2．证明：从圆O外一点P向这个圆所引的两条切线PA、PB所成的角APB被PO平分（本题要求写出已知、求证、证明并画图）

3．证明：$ \frac{{\sin 2\alpha +1}}{{1+\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }}=\frac{1}{2}tg\alpha +\frac{1}{2}.$

4．已知$ 2\lg x+\lg 2=\lg (x+6),$求x

5．某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为135⁰的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD和DC为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？

6．工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5:2，做这样的容器需要多少平方米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）

7．已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC²=AB·AD

8．下列两题选做一题

（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y²=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长

（乙）已知菱形的一对内角各为60⁰，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60⁰角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程

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