1977年普通高等学校招生理科数学试题

（上海市）

1．（1）化简$ (\frac{a}{{a+b}}-\frac{{{{a}^{2}}}}{{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}}})\div (\frac{a}{{a+b}}-\frac{{{{a}^{2}}}}{{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}})$

（2）计算$ \frac{1}{2}\lg 25+\lg 2-\lg \sqrt{{0.1}}-{{\log }_{2}}9\times {{\log }_{3}}2$

（3）$ \sqrt{{-1}}=i$，验算i是否方程2x⁴+3x³-3x²+3x-5=0的解

（4）求证：$ \frac{{\sin (\frac{\pi }{4}+\theta )}}{{\sin (\frac{\pi }{4}-\theta )}}+\frac{{\cos (\frac{\pi }{4}+\theta )}}{{\cos (\frac{\pi }{4}-\theta )}}=\frac{2}{{\cos 2\theta }}.$

2．在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=$ a$,AC=b,求DE的长

3．已知圆A的直径为$ 2\sqrt{3}$，圆B的直径为$ 4-2\sqrt{3}$，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切，∠A=60⁰，求BC及∠C

4．正六棱锥V-ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm

（1）按1:1画出它的二视图;

（2）求其侧面积;

（3）求它的侧棱和底面的夹角

5．解不等式

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {16-{{x}^{2}}\ge 0} \\ {{{x}^{2}}-x-6>0} \end{array}} \right.$并在数轴上把它的解表示出来

6．已知两定点A（-4，0）、B（4，0），一动点P（x,y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为$ -\frac{1}{4}$ 求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线

7．等腰梯形的周长为60，底角为60⁰，问这梯形各边长为多少时，面积最大？

8．当k为何值时，方程组有两组相同的解？并求出它的解

附加题

9．如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值

10．已知曲线y=x²-2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点，（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率;（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积

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