1977年普通高等学校招理科数学试题

（北京市）

1．解方程$ \sqrt{{x-1}}=3-x.$

2．计算$ {{2}^{{-\frac{1}{2}}}}+\frac{{{{2}^{0}}}}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}$

3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg$ \sqrt{{45}}$

4．证明$ {{(1+tg\alpha )}^{2}}=\frac{{1+\sin 2\alpha }}{{{{{\cos }}^{2}}\alpha }}$

5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？

7.已知二次函数y=x²-6x+5

(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;

(2)画出它的图象;

(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45⁰东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15⁰东方向，求这时船和灯塔的距离CB

9．有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD·AE=AC·AB

10.当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆$ \frac{{{{x}^{2}}}}{{16}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{9}=1$有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象

附加题

1．（1）求函数

(2)求椭圆$ \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1$绕x轴旋转而成的旋转体体积

2.(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x₀处连续的定义

（2）试证明：若f(x)在点x=x₀处连续，且f(x₀)>0,则存在一个x₀的（x₀-δ，x₀+δ），在这个邻域内，处处有f(x)>0

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