例：已知对任意x，都有$latex \displaystyle x{{e}^{{2x}}}-ax-x\ge 1+\ln x$，则实数a的取值范围是_____

详解：根据题意可知，$ x>0$，由$ x\cdot {{e}^{{2x}}}-ax-x\ge 1+\ln x$，可得$ a\le {{e}^{{2x}}}-\frac{{\ln x+1}}{x}-1$$ \displaystyle \left( {x>0} \right)$恒成立，令$ f\left( x \right)={{e}^{{2x}}}-\frac{{\ln x+1}}{x}-1$，

则$ \displaystyle a\le f{{\left( x \right)}_{{\min }}}$，现证明$ \displaystyle {{e}^{x}}\ge x+1$恒成立，设$ \displaystyle g\left( x \right)={{e}^{x}}-x-1$，

$ {g}’\left( x \right)={{e}^{x}}-1$，当$ {g}’\left( x \right)=0$时，解得：$ \displaystyle x=0$，当$ x<0$时，$ {g}’\left( x \right)<0$，$ g\left( x \right)$单调递减，

当$ x>0$时，$ {g}’\left( x \right)<0$，$ g\left( x \right)$单调递增，故$ \displaystyle x=0$时，函数$ g\left( x \right)$取得最小值，$ g\left( 0 \right)=0$，

所以$ g\left( x \right)\ge g\left( 0 \right)=0$，即$ {{e}^{x}}-x-1\ge 0\Leftrightarrow {{e}^{x}}\ge x+1$恒成立，

$ f\left( x \right)={{e}^{{2x}}}-\frac{{\ln x+1}}{x}-1=\frac{{x\cdot {{e}^{{2x}}}-\ln x-1}}{x}-1$$ =\frac{{{{e}^{{\ln x+2x}}}-\ln x-1}}{x}-1\ge \frac{{\ln x+2x+1-\ln x-1}}{x}-1=1$，

所以$ \displaystyle f{{\left( x \right)}_{{\min }}}=1$，即$ a\le 1$.所以实数$ \displaystyle a$的取值范围是$ \displaystyle \left( {-\infty ,1} \right]$

特别提示：这两个不等式的得到都是源于高等数学中的泰勒展开，他们的变形式还有：$ \ln \left( {\frac{1}{x}+1} \right)\le \frac{1}{x}$，$ \ln x\ge 1-\frac{1}{x}$，$ \ln \frac{1}{x}\le \frac{1}{x}-1$，$ \frac{{x-1}}{x}\le \ln x\le x-1$等，这都高考命题的题点。