奇思妙解:巧用两个经典不等式

作者: 张老师 分类: 奇思妙解 发布时间: 2023-03-11 10:02
秒杀结论:

(1)对数形式:$\frac{\mathbf{x}}{{\mathbf{x}+1}}$≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.

(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.

例:已知对任意x,都有$latex \displaystyle x{{e}^{{2x}}}-ax-x\ge 1+\ln x$,则实数a的取值范围是_____

详解:根据题意可知,$ x>0$,由$ x\cdot {{e}^{{2x}}}-ax-x\ge 1+\ln x$,可得$ a\le {{e}^{{2x}}}-\frac{{\ln x+1}}{x}-1$$ \displaystyle \left( {x>0} \right)$恒成立,令$ f\left( x \right)={{e}^{{2x}}}-\frac{{\ln x+1}}{x}-1$,

则$ \displaystyle a\le f{{\left( x \right)}_{{\min }}}$,现证明$ \displaystyle {{e}^{x}}\ge x+1$恒成立,设$ \displaystyle g\left( x \right)={{e}^{x}}-x-1$,

$ {g}’\left( x \right)={{e}^{x}}-1$,当$ {g}’\left( x \right)=0$时,解得:$ \displaystyle x=0$,当$ x<0$时,$ {g}’\left( x \right)<0$,$ g\left( x \right)$单调递减,

当$ x>0$时,$ {g}’\left( x \right)<0$,$ g\left( x \right)$单调递增,故$ \displaystyle x=0$时,函数$ g\left( x \right)$取得最小值,$ g\left( 0 \right)=0$,

所以$ g\left( x \right)\ge g\left( 0 \right)=0$,即$ {{e}^{x}}-x-1\ge 0\Leftrightarrow {{e}^{x}}\ge x+1$恒成立,

$ f\left( x \right)={{e}^{{2x}}}-\frac{{\ln x+1}}{x}-1=\frac{{x\cdot {{e}^{{2x}}}-\ln x-1}}{x}-1$$ =\frac{{{{e}^{{\ln x+2x}}}-\ln x-1}}{x}-1\ge \frac{{\ln x+2x+1-\ln x-1}}{x}-1=1$,

所以$ \displaystyle f{{\left( x \right)}_{{\min }}}=1$,即$ a\le 1$.所以实数$ \displaystyle a$的取值范围是$ \displaystyle \left( {-\infty ,1} \right]$

 

特别提示:这两个不等式的得到都是源于高等数学中的泰勒展开,他们的变形式还有:$ \ln \left( {\frac{1}{x}+1} \right)\le \frac{1}{x}$,$ \ln x\ge 1-\frac{1}{x}$,$ \ln \frac{1}{x}\le \frac{1}{x}-1$,$ \frac{{x-1}}{x}\le \ln x\le x-1$等,这都高考命题的题点。

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