奇思妙解：巧识函数对称性
| 秒杀结论：
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=$ \frac{{\mathbf{a}+\mathbf{b}}}{2}$对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称; (2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点$ \left( {\frac{{\mathbf{a}+\mathbf{b}}}{2}\text{,}\frac{\mathbf{c}}{2}} \right)$对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称. |
定义在R上的函数$ \displaystyle f(x)$满足：
①$ \displaystyle f(2-x)+f(x)=0$；②$ f(x-2)-f(-x)=0$；③在$ [-1,1]$上表达式为$ f(x)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \frac{{\pi x}}{2},x\in [-1,0]} \\ {1-x,x\in (0,1]} \end{array}} \right.$.则函数$ \displaystyle f(x)$与函数$ g(x)={{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{{\left| x \right|}}}$的图像在区间[－3，3]上的交点个数为_____.
详解：根据题意，①$ \displaystyle f(2-x)+f(x)=0$，得函数$ f\left( x \right)$的图像关于点$ \displaystyle \left( {1,0} \right)$对称，②$ f(x-2)-f(-x)=0$，得函数$ f\left( x \right)$的图像关于$ \displaystyle x=-1$对称，则函数$ f\left( x \right)$与$ g\left( x \right)$在区间$ [-3,3]$上的图像如图所示：
可知$ \displaystyle f(x)$与$ g(x)$的图像在$ \displaystyle \left[ {-3,3} \right]$上有5个交点．
巧计口诀：和为定值半对称