奇思妙解：周期结论秒杀
秒杀结论：
| 已知定义在R上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (2)如果f(x+a)=$ \frac{1}{{\text{f}\left( \text{x} \right)}}$(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a. |
例：函数$ \displaystyle f(x)={{x}^{3}}+x+\frac{a}{x}-8$$ \displaystyle (a\in R)$在区间$ \displaystyle \left[ {m,n} \right]$上的最大值为10，则函数$ f\left( x \right)$在区间$ \displaystyle \left[ {-n,-m} \right]$上的最小值为（ ）
A．-10 B．-8 C．-26 D．与a有关
【详解】设$ \displaystyle g(x)={{x}^{3}}+x+\frac{a}{x}$，则$ \displaystyle f(x)=g(x)-8$，即$ g(x)=f(x)+8$，
故$ g(x)$在区间$ \displaystyle \left[ {m,n} \right]$上的最大值为$ g{{(x)}_{{\max }}}=f{{(x)}_{{\max }}}+8=18$，
又易见$ g(-x)=-g(x)$，即$ g(x)$是奇函数，图象关于原点中心对称，
故$ g(x)$在区间$ \displaystyle \left[ {-n,-m} \right]$上的最小值为$ g{{(x)}_{{\min }}}=-18=f{{(x)}_{{\min }}}+8$，
故$ f\left( x \right)$在区间$ \displaystyle \left[ {-n,-m} \right]$上的最小值为$ f{{(x)}_{{\min }}}\text{=}-26$.
这个结论通过周期函数的定义得到，用$ x+a$代换等式中的$ x$构造出来$ f\left( x \right)=f\left( {x+T} \right)$的形式，然后利用周期函数的定义即可得到结论.$ 0<x<1$