奇思妙解：巧用对称妙解题
秒杀结论：已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,g(x)=f(x)+m.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则①f(x)max+f(x)min=2m；②f(a)+f(-a)=2m
例．已知函数$ f(x)=\frac{{(x+1)(x-4)+{{2}^{x}}^{{}}-{{2}^{{-x}}}}}{{{{x}^{2}}-4}}$的最大值为$ \displaystyle M$，最小值为$ \displaystyle m$，则$ \displaystyle M+m=$____$ \displaystyle g(x)={{x}^{3}}+x+\frac{a}{x}$
| 【答案】2
【详解】$ \because f\left( x \right)=\frac{{\left( {x+1} \right)\left( {x-4} \right)+{{2}^{x}}^{{}}-{{2}^{{-x}}}}}{{{{x}^{2}}-4}}=\frac{{{{x}^{2}}-4-3x+{{2}^{x}}-{{2}^{{-x}}}}}{{{{x}^{2}}-4}}=1+\frac{{{{2}^{x}}-{{2}^{{-x}}}-3x}}{{{{x}^{2}}-4}}$，令$ g\left( x \right)=\frac{{{{2}^{x}}-{{2}^{{-x}}}-3x}}{{{{x}^{2}}-4}}$， 则$ g\left( {-x} \right)=\frac{{{{2}^{{-x}}}-{{2}^{x}}-3\left( {-x} \right)}}{{{{{\left( {-x} \right)}}^{2}}-4}}=\frac{{-\left( {{{2}^{x}}-{{2}^{{-x}}}-3x} \right)}}{{{{x}^{2}}-4}}=-g\left( x \right)$，即$ g\left( x \right)$为奇函数，图象关于原点对称， $ \because g\left( x \right)=f\left( x \right)-1$，$ \therefore g{{(x)}_{{\max }}}=M-1$，$ g{{(x)}_{{\min }}}=m-1$，且$ \displaystyle g{{(x)}_{{\max }}}+g{{(x)}_{{\min }}}=0$， |
$ \therefore M-1+m-1=0$，则$ M+m=2$．
这个结论通过奇函数的图象的对称性可以得到，利用中点坐标公式即可得到结论.