1965年普通高等学校招生全国统一考试

数  学

1．如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积

2．在A处的甲船测得乙船在北偏西$ 49{}^\circ 4{8}’$的B处，以速度22里/小时向正北方向行驶，甲船立即从A处出发，以速度26里/小时向北偏西$ \alpha $度的方向沿直线驶去追赶乙船，问$ \alpha $是多大角度时，经过一段时间甲船能够在某C处恰好与乙船相遇？（lg2.2=0.3424,lg2.6=0.4150)

3．把地球看作半径为R的球，设A、B两地纬度相同，都是$ \alpha $度，它们的经度相差$ \beta $$ (0<\beta \le 180{}^\circ )$，求A、B两地之间的球面距离

4．（1）证明$ |\sin 2x|\le 2|\sin x|.$（x为任意值）

（2）已知n为任意正整数，用数学归纳法证明$ |\sin nx|\le n|\sin x|.$（x为任意值）

5．已知一点P的坐标是（4，-2），直线L的方程是y-x+5=0，曲线C的方程是$ \frac{{{{{(x+1)}}^{2}}}}{2}+\frac{{{{{(y-1)}}^{2}}}}{4}=1$，求经过P点而与L垂直的直线和曲线C的交点的坐标，并画出此题的略图

6．当P是什么实数时，方程$ {{x}^{2}}+px-3=0$与方程$ {{x}^{2}}-4x$$ -(p-1)=0$有一公共根？

7．已知抛物线$ {{y}^{2}}=2x,$

（1）在抛物线上任取二点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂ ,y₂），经过线段P₁P₂的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P₃，证明△P₁P₂P₃的面积为$ \frac{1}{{16}}|{{y}_{1}}-{{y}_{2}}{{|}^{3}}$

（2）经过线段P₁P₃、P₂P₃的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q₁、Q₂，试将△P₁P₃Q₁与

△P₂P₃Q₂的面积和用y₁,y₂表示出来

（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P₁P₂与抛物线所围成的图形的面积

8．附加题

（1）已知$ a,b,c$为实数，证明$ a,b,c$均为正整数的充要条件是$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a+b+c>0} \\ {ab+bc+ca>0} \\ {abc>0} \end{array}} \right.$

（2）已知方程$ {{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+qx+r=0$的三根$ \alpha ,\beta ,\gamma $都是实数，证明$ \alpha ,\beta ,\gamma $是一个三角形的三边的充要条件是$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {p<0,q>0,r<0} \\ {{{p}^{3}}>4pq-8r.} \end{array}} \right.$

详细答案，回复可见：