1964年普通高等学校招生全国统一考试

数  学

1．化简$ \frac{{\sqrt[3]{{{{3}^{{-\frac{3}{2}}}}{{{(\frac{1}{3})}}^{{-3}}}}}}}{{{{{(1-\sqrt{3})}}^{2}}}}$

2．甲乙两人在P点的河对岸的D点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走$latex a$米，10分钟后，甲看P在北$\alpha $度西，乙看P在北$latex \beta $度东，求PD

3．解方程${{x}^{4}}+1=0,$并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点

4．求证：在△ABC中，$\cos \alpha =\frac{{{{{\sin }}^{2}}\beta +{{{\sin }}^{2}}\gamma -{{{\sin }}^{2}}\alpha }}{{2\sin \beta \cdot \sin \gamma }}$

5．已知${{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-3x+n=0$的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求m、n.

6．圆台形铁桶的上底半径是10cm，下底半径是15cm，母线是30cm 将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片ABCD，求AB间的距离

7．已知空间四点A、B、C、D和两平面M、N，又知A、B、C、D在M内的射影A₁B₁C₁D₁是一条直线，在N内的射影A₂B₂C₂D₂是一个平行四边形，求证ABCD是一个平行四边形

8．如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆

（1）求这两个内切圆的半径之和

（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

机动题

（1）在第8题中，若正方形改为矩形，情况又如何？

（2）在第8题中，若正方形改为正方体，圆改为球，情况如何？

详细答案，回复可见：