交大附中航天学校2022-2023学年第一学期

第二次诊断高一数学试题

命题人：冯寅蛰       审题人：杜朝琼

本试题共4页，21道题.考试时长100分钟，试卷满分100分.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}}}$的定义域为（       ）

A．$ \left[ {-1,+\infty } \right)$  B．$ \left( {-1,+\infty } \right)$    C．$ \left( {-\infty ,-1} \right)$                             D．$ \displaystyle \left( {-\infty ,-1} \right]$

2．下列各函数中与函数$ \displaystyle f\left( x \right)=x$为同一函数的是（       ）

A．$ y=\frac{{{{x}^{2}}}}{x}$     B．$ y={{(\sqrt{x})}^{2}}$

C．$ y=\text{ln}{{\text{e}}^{x}}$      D．$ y=\sqrt{{{{x}^{2}}}}$

3．设函数$ f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-6x+3$，$ x\in \left[ {1,4} \right]$，则$ f\left( x \right)$的最小值和最大值为（       ）

A．$ \displaystyle \frac{3}{2}$，11    B．$ -1$，3

C．$ -\frac{3}{2}$，4                          D．$ -\frac{3}{2}$，11

4．已知函数$ \displaystyle f\left( {{{\text{e}}^{x}}} \right)=x$，若$ \displaystyle f\left( a \right)=0$，则$ \displaystyle a=$（       ）

A．0                           B．$ \text{e}$      C．1                           D．$ \displaystyle {{\text{e}}^{\text{e}}}$

5．若函数$ f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+2x-3$在区间$ \left( {-\infty ,4} \right]$上单调递增，则实数$ \displaystyle a$的取值范围是（       ）

A．$ \displaystyle a>-\frac{1}{4}$   B．$ a\ge -\frac{1}{4}$

C．$ \displaystyle -\frac{1}{4}\le a<0$ D．$ \displaystyle -\frac{1}{4}\le a\le 0$

6．设$ \displaystyle f(x)=a{{x}^{2}}+bx+2$是定义在$ [1+a,1]$上的偶函数，则$ a+2b=$

A．0                           B．2                           C．$ -2$                  D．$ \displaystyle \frac{1}{2}$

7．函数$ f\left( x \right)=\text{ln}x+2x-6$的零点一定位于区间（       ）

A．$ \left( {1,2} \right)$                  B．$ \displaystyle \left( {2,3} \right)$                                   C．$ \displaystyle \left( {3,4} \right)$    D．$ \displaystyle \left( {4,5} \right)$

8．设函数$ f\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{2}}+bx+c,x\le 0} \\ {2,x>0} \end{array}} \right.$，若$ \displaystyle f(-4)=f(0),f(-2)=-2$，则关于$ x$的方程$ \displaystyle f(x)=x$的解的个数为（       ）

A．1                           B．2                           C．3                           D．4

二、多选题（本题共4小题，每小题4分共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分．）

9．下列结论中，正确的是（       ）

A．幂函数的图象都通过点$ (0,0),(1,1)$

B．函数$ \displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-3$有零点

C．函数$ \displaystyle y={{a}^{{2x+3}}}-1$恒过定点$ \displaystyle \left( {-\frac{3}{2},0} \right)$

D．函数$ \displaystyle y=\frac{1}{x}$在整个定义域内是单调递减的

10．若$ a>b$，则（       ）

A．$ a{{c}^{2}}>b{{c}^{2}}$        B．$ {{2}^{{-a}}}<{{2}^{{-b}}}$

C．$ \displaystyle {{a}^{3}}-{{b}^{3}}>0$       D．$ \displaystyle \ln \left( {a-b} \right)>0$

11．下列函数中值域为的是（       ）

A．$ \displaystyle y=\sqrt{x}$    B．$ \displaystyle y={{x}^{2}}-2x+1$                                   C．$ \displaystyle y=-\frac{1}{x}$    D．$ y={{x}^{3}}$

12．已知函数$ f\left( x \right)$是定义在$ \displaystyle \text{R}$上的奇函数，当$ x<0$时，$ f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}\left( {x+1} \right)$，给出下列命题：

①当$ x>0$时，$ f\left( x \right)=-{{\text{e}}^{{-x}}}\left( {x-1} \right)$；

②当$ x>0$时，$ \displaystyle f\left( x \right)={{\text{e}}^{{-x}}}\left( {x-1} \right)$：

③$ f\left( x \right)<0$的解集为$ \displaystyle \left( {-\infty ,-1} \right)\cup \left( {0,1} \right)$；

④函数$ f\left( x \right)$有2个零点．

其中所有正确结论的编号是（       ）．

A．①                         B．②                         C．③                          D．④

三、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡上的相应位置．）

13．函数$ f\left( x \right)=\{\begin{array}{*{20}{c}} {x+1,x\le 1} \\ {-x+3,x>1} \end{array}$，则$ \displaystyle f\left( {f\left( 4 \right)} \right)=$____________．

14．函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\left( {{{m}^{2}}-m-1} \right){{x}^{m}}$是幂函数，且$ \displaystyle x\in \left( {0,+\infty } \right)$上为减函数，则实数$ \displaystyle m$的值是___________．

15．若集合$ \displaystyle M=\left\{ {x\mid {{x}^{2}}-x\le 0} \right\}$，函数$ f\left( x \right)=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( {1-\left| x \right|} \right)$的定义域为$ \displaystyle N$，则$ M\cap N=$___________．

16．已知函数$ f\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{2}}-2x+4,x\le 0} \\ {\text{ln}x,x>0} \end{array}} \right.$，若函数$ g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+3f\left( x \right)+m\left( {m\in \mathbf{R}} \right)$有三个零点，则$ \displaystyle m$的取值范围为___________．

四、解答题：（本题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．计算：

(1)$ {{27}^{{\frac{2}{3}}}}+2\cdot {{(\text{e}-1)}^{0}}+\frac{1}{{\sqrt{5}+2}}-{{16}^{{\frac{1}{4}}}}$；

(2)$ \text{lg}14-2\text{lg}\frac{7}{3}+\text{lg}7-\text{lg}18$．

18．已知函数$ \displaystyle f(x)={{x}^{2}}+ax+3$，求函数在区间$ [-1,1]$上的最小值$ g(a).$

19．如图，定义在$ \displaystyle \left[ {-1,+\infty } \right)$上的函数$ f\left( x \right)$的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．

(1)求$ f\left( x \right)$的解析式；

(2)写出$ f\left( x \right)$的值域．

 

20．已知函数$ \displaystyle y={{4}^{x}}-{{2}^{{x+1}}}+2$，$ x\in \left[ {-1,2} \right]$．

(1)设$ \displaystyle t={{2}^{x}}$，求$ \displaystyle t$的取值范围；

(2)求函数$ \displaystyle y={{4}^{x}}-{{2}^{{x+1}}}+2$的最值，并求出取得最值时对应的$ x$的值．

21．已知函数$ \displaystyle f(x)={{\log }_{{\frac{1}{2}}}}\frac{{1-ax}}{{x-1}}$的图像关于原点对称，其中$ \displaystyle a$为常数.

（1）求$ \displaystyle a$的值；

（2）若$ x\in (1,+\infty )$时，$ \displaystyle f(x)+{{\log }_{{\frac{1}{2}}}}(x-1)<m$恒成立，求实数$ \displaystyle m$的取值范围.

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