名校真题:西安交通大学附属中学航天学校2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试题
交大附中航天学校2022-2023学年第一学期
第二次诊断高一数学试题
命题人:冯寅蛰 审题人:杜朝琼
本试题共4页,21道题.考试时长100分钟,试卷满分100分.
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}}}$的定义域为( )
A.$ \left[ {-1,+\infty } \right)$ B.$ \left( {-1,+\infty } \right)$ C.$ \left( {-\infty ,-1} \right)$ D.$ \displaystyle \left( {-\infty ,-1} \right]$
2.下列各函数中与函数$ \displaystyle f\left( x \right)=x$为同一函数的是( )
A.$ y=\frac{{{{x}^{2}}}}{x}$ B.$ y={{(\sqrt{x})}^{2}}$
C.$ y=\text{ln}{{\text{e}}^{x}}$ D.$ y=\sqrt{{{{x}^{2}}}}$
3.设函数$ f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-6x+3$,$ x\in \left[ {1,4} \right]$,则$ f\left( x \right)$的最小值和最大值为( )
A.$ \displaystyle \frac{3}{2}$,11 B.$ -1$,3
C.$ -\frac{3}{2}$,4 D.$ -\frac{3}{2}$,11
4.已知函数$ \displaystyle f\left( {{{\text{e}}^{x}}} \right)=x$,若$ \displaystyle f\left( a \right)=0$,则$ \displaystyle a=$( )
A.0 B.$ \text{e}$ C.1 D.$ \displaystyle {{\text{e}}^{\text{e}}}$
5.若函数$ f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+2x-3$在区间$ \left( {-\infty ,4} \right]$上单调递增,则实数$ \displaystyle a$的取值范围是( )
A.$ \displaystyle a>-\frac{1}{4}$ B.$ a\ge -\frac{1}{4}$
C.$ \displaystyle -\frac{1}{4}\le a<0$ D.$ \displaystyle -\frac{1}{4}\le a\le 0$
6.设$ \displaystyle f(x)=a{{x}^{2}}+bx+2$是定义在$ [1+a,1]$上的偶函数,则$ a+2b=$
A.0 B.2 C.$ -2$ D.$ \displaystyle \frac{1}{2}$
7.函数$ f\left( x \right)=\text{ln}x+2x-6$的零点一定位于区间( )
A.$ \left( {1,2} \right)$ B.$ \displaystyle \left( {2,3} \right)$ C.$ \displaystyle \left( {3,4} \right)$ D.$ \displaystyle \left( {4,5} \right)$
8.设函数$ f\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{2}}+bx+c,x\le 0} \\ {2,x>0} \end{array}} \right.$,若$ \displaystyle f(-4)=f(0),f(-2)=-2$,则关于$ x$的方程$ \displaystyle f(x)=x$的解的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题(本题共4小题,每小题4分共16分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得4分,有选错的得0分,部分选对得2分.)
9.下列结论中,正确的是( )
A.幂函数的图象都通过点$ (0,0),(1,1)$
B.函数$ \displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-3$有零点
C.函数$ \displaystyle y={{a}^{{2x+3}}}-1$恒过定点$ \displaystyle \left( {-\frac{3}{2},0} \right)$
D.函数$ \displaystyle y=\frac{1}{x}$在整个定义域内是单调递减的
10.若$ a>b$,则( )
A.$ a{{c}^{2}}>b{{c}^{2}}$ B.$ {{2}^{{-a}}}<{{2}^{{-b}}}$
C.$ \displaystyle {{a}^{3}}-{{b}^{3}}>0$ D.$ \displaystyle \ln \left( {a-b} \right)>0$
11.下列函数中值域为的是( )
A.$ \displaystyle y=\sqrt{x}$ B.$ \displaystyle y={{x}^{2}}-2x+1$ C.$ \displaystyle y=-\frac{1}{x}$ D.$ y={{x}^{3}}$
12.已知函数$ f\left( x \right)$是定义在$ \displaystyle \text{R}$上的奇函数,当$ x<0$时,$ f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}\left( {x+1} \right)$,给出下列命题:
①当$ x>0$时,$ f\left( x \right)=-{{\text{e}}^{{-x}}}\left( {x-1} \right)$;
②当$ x>0$时,$ \displaystyle f\left( x \right)={{\text{e}}^{{-x}}}\left( {x-1} \right)$:
③$ f\left( x \right)<0$的解集为$ \displaystyle \left( {-\infty ,-1} \right)\cup \left( {0,1} \right)$;
④函数$ f\left( x \right)$有2个零点.
其中所有正确结论的编号是( ).
A.① B.② C.③ D.④
三、填空题:(本题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡上的相应位置.)
13.函数$ f\left( x \right)=\{\begin{array}{*{20}{c}} {x+1,x\le 1} \\ {-x+3,x>1} \end{array}$,则$ \displaystyle f\left( {f\left( 4 \right)} \right)=$____________.
14.函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\left( {{{m}^{2}}-m-1} \right){{x}^{m}}$是幂函数,且$ \displaystyle x\in \left( {0,+\infty } \right)$上为减函数,则实数$ \displaystyle m$的值是___________.
15.若集合$ \displaystyle M=\left\{ {x\mid {{x}^{2}}-x\le 0} \right\}$,函数$ f\left( x \right)=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( {1-\left| x \right|} \right)$的定义域为$ \displaystyle N$,则$ M\cap N=$___________.
16.已知函数$ f\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{2}}-2x+4,x\le 0} \\ {\text{ln}x,x>0} \end{array}} \right.$,若函数$ g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+3f\left( x \right)+m\left( {m\in \mathbf{R}} \right)$有三个零点,则$ \displaystyle m$的取值范围为___________.
四、解答题:(本题共5小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.计算:
(1)$ {{27}^{{\frac{2}{3}}}}+2\cdot {{(\text{e}-1)}^{0}}+\frac{1}{{\sqrt{5}+2}}-{{16}^{{\frac{1}{4}}}}$;
(2)$ \text{lg}14-2\text{lg}\frac{7}{3}+\text{lg}7-\text{lg}18$.
18.已知函数$ \displaystyle f(x)={{x}^{2}}+ax+3$,求函数在区间$ [-1,1]$上的最小值$ g(a).$
19.如图,定义在$ \displaystyle \left[ {-1,+\infty } \right)$上的函数$ f\left( x \right)$的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求$ f\left( x \right)$的解析式;
(2)写出$ f\left( x \right)$的值域.
20.已知函数$ \displaystyle y={{4}^{x}}-{{2}^{{x+1}}}+2$,$ x\in \left[ {-1,2} \right]$.
(1)设$ \displaystyle t={{2}^{x}}$,求$ \displaystyle t$的取值范围;
(2)求函数$ \displaystyle y={{4}^{x}}-{{2}^{{x+1}}}+2$的最值,并求出取得最值时对应的$ x$的值.
21.已知函数$ \displaystyle f(x)={{\log }_{{\frac{1}{2}}}}\frac{{1-ax}}{{x-1}}$的图像关于原点对称,其中$ \displaystyle a$为常数.
(1)求$ \displaystyle a$的值;
(2)若$ x\in (1,+\infty )$时,$ \displaystyle f(x)+{{\log }_{{\frac{1}{2}}}}(x-1)<m$恒成立,求实数$ \displaystyle m$的取值范围.
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