名校真题：陕西省西安市第七十五中学2022-2023学年高二上学期期中文科数学试题
西安75中2022-2023学年
高二数学试卷（文科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：北师大版必修5.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的.
1．已知数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$满足$ \displaystyle {{a}_{1}}=2$，$ \displaystyle {{a}_{{n+1}}}=1-\frac{1}{{{{a}_{n}}}}\left( {n\in {{\mathbf{N}}_{+}}} \right)$，则$ \displaystyle {{a}_{3}}=$（ ）
A．$ \displaystyle \frac{1}{2}$ B．$ -1$ C．2 D．1
2．在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，内角$ A$，$ B$，$ \displaystyle C$所对的边分别为$ \displaystyle a$，$ b$，$ \displaystyle c$，$ \sin B=\frac{4}{5}$，$ b=13$，$ \displaystyle c=14$，则$ \displaystyle \sin C=$（ ）
A．$ \displaystyle \frac{{26}}{{35}}$ B．$ \displaystyle \frac{{42}}{{65}}$ C．$ \displaystyle \frac{{56}}{{65}}$ D．$ \displaystyle \frac{{39}}{{70}}$
3．已知$ a>0>b$，则（ ）
A．$ {{a}^{2}}>ab$ B．$ ab>{{b}^{2}}$ C．$ {{a}^{2}}>{{b}^{2}}$ D．$ \frac{a}{b}>1$
4．若三角形的三边长度分别为5，6，7，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定的
5．若不等式$ \displaystyle a{{x}^{2}}+x-3>0$的解集为$ \left\{ {x\left| {x>1} \right.} \right.$或$ \left. {x<b} \right\}$，则$ a+b=$（ ）
A．0 B．1 C．$ \displaystyle \frac{1}{2}$ D．$ -\frac{1}{2}$
6．已知$ x$、$ \displaystyle y$满足约束条件$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x+y+1\ge 0} \\ {x\le y} \\ {y\le 1} \end{array}} \right.$，则$ z=x+y$的最大值为（ ）
A．$ -1$ B．$ 0$ C．$ \displaystyle 1$ D．$ 2$
7．在等差数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$中，若$ \displaystyle {{a}_{{1001}}}+{{a}_{{1022}}}=-2$，则该数列的前$ 2022$项和为（ ）
A．$ -2023$ B．$ -2022$ C．$ \displaystyle -2021$ D．$ \displaystyle -2020$
8．已知正实数$ \displaystyle a$，$ b$满足$ \displaystyle 2a+b+2ab-8=0$，则$ \displaystyle ab$的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知$ \displaystyle a=3-\sqrt{5}$，$ \displaystyle b=\sqrt{7}-2$，$ c=1$，则（ ）
A．$ a>c>b$ B．$ \displaystyle c>a>b$
C．$ \displaystyle b>c>a$ D．$ \displaystyle c>b>a$
10．已知数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$满足$ {{a}_{1}}=1$，$ \displaystyle {{a}_{{n+1}}}={{a}_{n}}+{{3}^{n}}$，则$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的通项公式$ \displaystyle {{a}_{n}}=$（ ）
A．$ \frac{{{{3}^{n}}+1}}{4}$ B．$ \frac{{{{3}^{{n+1}}}-3}}{2}$ C．$ \displaystyle \frac{{{{3}^{n}}-1}}{2}$ D．$ \displaystyle \frac{{{{3}^{{n+1}}}-5}}{4}$
11．已知$ m>0$，$ \displaystyle n>0$，$ 9\sqrt{3}$是$ {{3}^{m}}$与$ \displaystyle {{3}^{{2n}}}$的等比中项，则$ \displaystyle \frac{{m+9}}{m}+\frac{1}{{2n}}$的最小值为（ ）
A．$ \frac{{21}}{5}$ B．$ \frac{{16}}{5}$ C．$ \frac{{13}}{5}$ D．$ \displaystyle \frac{8}{5}$
12．如图，到达某旅游景区内的$ A$处后，有两种路径到$ B$处：一种是从$ A$处沿直线步行到$ B$处；另一种是先从$ A$处坐小火车沿直线到达$ \displaystyle C$处，再从$ \displaystyle C$处沿直线步行到$ B$处.现有甲、乙两名游客到达$ A$处后，甲沿$ AB$方向匀速步行前往$ B$处，速度为50米/分钟，甲出发2分钟后，乙从$ A$处坐小火车前往$ \displaystyle C$处，再从$ \displaystyle C$处步行到$ B$处.已知小火车的速度为200米/分钟，$ A$，$ \displaystyle C$之间的距离为2000米，$ B$、$ \displaystyle C$之间的距离为3000米，$ \displaystyle AB>BC$，$ \sin B=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.当乙在小火车上时，甲、乙之间的直线距离最短为（ ）
A．$ \displaystyle \frac{{300\sqrt{{39}}}}{{13}}$米 B．$ \displaystyle \frac{{200\sqrt{{39}}}}{{13}}$米 C．$ \displaystyle \frac{{300\sqrt{{13}}}}{{13}}$米 D．$ \displaystyle \frac{{200\sqrt{{13}}}}{{13}}$米
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知等比数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的公比为4，$ {{a}_{1}}+{{a}_{3}}=2$，则$ {{a}_{2}}+{{a}_{4}}=$________.
14．在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，$ \displaystyle \angle A=105{}^\circ $，$ \displaystyle AC=1$，若$ \displaystyle \vartriangle ABC$有一个解，则$ \displaystyle BC$的取值范围是________.
15．设$ {{S}_{n}}$是等差数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和，公差为$ d$，$ \displaystyle {{a}_{1}}=-5$，当且仅当$ n=5$时，$ {{S}_{n}}$取得最小值，则$ d$的取值范围为________.
16．在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，内角$ A$，$ B$，$ \displaystyle C$所对的边分别为$ \displaystyle a$，$ b$，$ \displaystyle c$，若$ \displaystyle a$，$ b$，$ \displaystyle c$成等差数列，则$ \displaystyle \cos B$的最小值为________.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解下列不等式：
(1)$ \displaystyle \left( {x-2} \right)\left( {x+1} \right)<4$；
(2)$ \displaystyle \frac{{x-2}}{{x+1}}\ge 0$.
18．设等差数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和是$ {{S}_{n}}$，$ \displaystyle {{a}_{3}}+{{a}_{5}}=8$，$ \displaystyle {{S}_{5}}=15$.
(1)求$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的通项公式；
(2)若$ {{b}_{n}}=\frac{1}{{{{a}_{{n+1}}}{{a}_{{n+2}}}}}$，求数列$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和$ {{T}_{n}}$.
19．在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，$ AB=4$，$ \displaystyle AC=2\sqrt{{13}}$，$ \displaystyle \cos \angle BAC=-\frac{{2\sqrt{{13}}}}{{13}}$，$ \displaystyle D$为线段$ \displaystyle BC$的中点．
(1)求$ \displaystyle BC$的长；
(2)求$ \displaystyle AD$的长．
20．如图所示，园林设计师计划在一面墙的同侧用彩带围成六个相同的矩形区域，靠墙的部分不用彩带.设$ AB$为$ x$米，$ AC$为$ \displaystyle y$米.
(1)当彩带的总长为48米时，围成的六个矩形的面积之和的最大值为多少？并求出此时$ x$和$ \displaystyle y$的值.
(2)当围成的六个矩形的面积之和为18平方米时，求彩带总长的最小值及此时$ x$和$ \displaystyle y$的值.
21．在锐角$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且$ \displaystyle \frac{{2a-c}}{{2b}}=\cos C$.
(1)求角$ B$的大小；
(2)求$ \frac{a}{c}$的取值范围.
22．已知数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$，且$ \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{{n}^{2}}+n}}{2}$.在数列$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$中， $ {{b}_{1}}=0$，$ \displaystyle 2{{b}_{n}}+1={{b}_{{n-1}}}$.
(1)求$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$，$ \left\{ {{{b}_{n}}} \right\}$的通项公式；
(2)设$ \displaystyle {{c}_{n}}={{a}_{n}}\left( {{{b}_{n}}+1} \right)$，数列$ \left\{ {{{c}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和为$ {{T}_{n}}$，证明：$ {{T}_{n}}<4$.
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