名校真题：陕西省西安长安一中高一年级2022-2023学年第一学期学期期中数学试题
长安一中2022-2023学年度第一学期期中考试
高一数学试题
一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合$A=\left\{ {1,2,3} \right\},B=\left\{ {\left( {x,y} \right)} \right.\left| {x\in A,y\in A,} \right|x-y\mid \in \left. A \right\}$中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．已知命题$p$：$a=0$，$q$：$f(x)={{x}^{2}}+|x+a|(x\in \mathbf{R})$为偶函数，则$p$是$q$成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．不等式$\displaystyle \left( {a-2} \right){{x}^{2}}+4\left( {a-2} \right)x-12<0$的解集为$\mathbf{R}$，则实数$\displaystyle a$的取值范围是（ ）
A．$\left\{ {a\left| {-1\le a<2} \right.} \right\}$ B．$\left\{ {a\left| {-1<a\le 2} \right.} \right\}$ C．$\left\{ {a\left| {-2<a<1} \right.} \right\}$ D．$\left\{ {a\left| {-1\le a\le 2} \right.} \right\}$
4．若函数$\displaystyle f\left( x \right)=\frac{x}{{\left( {2x-1} \right)\left( {x+a} \right)}}$为奇函数，则$\displaystyle a=$（ ）
A．$\displaystyle \frac{1}{2}$ B．$\frac{2}{3}$ C．$\displaystyle \frac{3}{4}$ D．1
5．已知$a+{{a}^{{-1}}}=6$，则${{a}^{{\frac{1}{2}}}}-{{a}^{{-\frac{1}{2}}}}$的值为（ ）
A．2 B．－2 C．$2\sqrt{2}$ D．$\displaystyle \pm 2$
6．已知$\displaystyle f(2x-1)=4x+6$，则$\displaystyle f\text{(}x\text{)}$的解析式为（ ）
A．$\displaystyle f(x)=2x+1$ B．$\displaystyle f(x)=2x+2$
C．$\displaystyle f(x)=4x+2$ D．$\displaystyle f(x)=2x+8$
7．已知函数$\displaystyle y=f\left( {2x-1} \right)$的定义域是$\displaystyle \left[ {-2,3} \right]$，则$\displaystyle y=\frac{{f\left( x \right)}}{{\sqrt{{x+3}}}}$的定义域是（ ）
A．$\displaystyle \left( {-3,3} \right]$ B．$\left[ {\frac{1}{2},2} \right]$ C．$\displaystyle \left[ {-1,3} \right]$ D．$\left( {-3,5} \right]$
8．已知函数$f\left( x \right)$为奇函数，且当$x\ge 0$时，$f\left( x \right)={{3}^{{x+a}}}+{{x}^{2}}-3$，则$f\left( {-2} \right)=$（ ）
A．${{3}^{{a-2}}}+1$ B．$-{{3}^{{a-2}}}-1$ C．$-28$ D．$\displaystyle -10$
9．已知函数$\displaystyle f\left( x \right)=x-m\sqrt{x}+5$，当$\displaystyle 1\le x\le 9$时，$f\left( x \right)>1$恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．$\displaystyle \left( {-\infty ,\frac{{13}}{3}} \right)$ B．$\displaystyle \left( {-\infty ,5} \right)$ C．$\displaystyle \left( {-\infty ,4} \right)$ D．$\left( {-\infty ,5} \right]$
10．已知关于$x$的不等式组$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{2}}-2x-8>0} \\ {2{{x}^{2}}+(2k+7)x+7k<0} \end{array}} \right.$仅有一个整数解，则$\displaystyle k$的取值范围为（ ）
A．$\displaystyle \left( {-5,3} \right)\cup \left( {4,5} \right)$ B．$\displaystyle \left[ {-5,3} \right)\cup \left( {4,5} \right]$ C．$\displaystyle \left( {-5,3} \right]\cup \left[ {4,5} \right)$ D．$\displaystyle \left[ {-5,3} \right]\cup \left[ {4,5} \right]$
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
11．下列函数既是偶函数，在$\displaystyle (0,+\infty )$上又是增函数的是（ ）
A．$y={{x}^{2}}+1$ B．$\displaystyle y=2x$ C．$\displaystyle y=|x|$ D．$\displaystyle y=\left| {\frac{1}{x}-x} \right|$
12．已知函数$\displaystyle f\left( x \right)=\frac{{bx+a}}{{x+2}}$在区间$\left( {-2,+\infty } \right)$上单调递增，则$\displaystyle a$，$b$的取值可以是（ ）
A．$\displaystyle a=1$，$\displaystyle b>\frac{3}{2}$ B．$a>4$，$b=2$
C．$a=-1$，$b=2$ D．$a=2$，$b=-1$
13．已知$\displaystyle a>0$，$\displaystyle b>0$，且$\displaystyle a+2b=1$，则下列说法正确的是（ ）
A．${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$的最小值为$\frac{1}{5}$ B．$\displaystyle ab$的最大值为$\frac{1}{8}$
C．$\displaystyle \frac{1}{{a+b}}$的最大值为$\displaystyle \frac{4}{3}$ D．$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为$4\sqrt{2}$
14．已知函数$y=f\left( {x-1} \right)$的图象关于$x=1$对称，且对$\displaystyle y=f\left( x \right)$，$x\in R$，当$\displaystyle {{x}_{1}}$，$\displaystyle {{x}_{2}}\in \left( {-\infty ,0} \right]$时，$\frac{{f\left( {{{x}_{2}}} \right)-f\left( {{{x}_{1}}} \right)}}{{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}}<0$成立，若$\displaystyle f\left( {2ax} \right)<f\left( {2{{x}^{2}}+1} \right)$对任意的$x\in R$恒成立，则a的可能取值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡相应的位置．）
15．化简$\sqrt{{{{{\left( {a-b} \right)}}^{2}}}}+\sqrt[5]{{{{{\left( {b-a} \right)}}^{5}}}}$的结果是________．
16．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
17．命题“$\exists {{x}_{0}}\in \mathbf{R}$，使$mx_{0}^{2}-\left( {m+3} \right){{x}_{0}}+m\le 0$”是假命题，则实数$\displaystyle m$的取值范围为 _____．
18．已知$\displaystyle a\in \text{R}$，函数$f\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {1-a} \right)x+1,x<a} \\ {x+\frac{4}{x}-4,x\ge a} \end{array}} \right.$，若$f\left( x \right)$存在最小值，则$\displaystyle a$的取值范围是__________.
四、解答题．（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．已知$\displaystyle p:2{{x}^{2}}-5x-3>0$，$\displaystyle q:x>a$，$\displaystyle r:{{x}^{2}}\le m\left( {m>0} \right)$．
(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；
(2)若$\displaystyle \neg p$是r的必要条件，求m的最大值．
20．已知函数$f\left( x \right)=x+\frac{4}{x}$.
(1)用单调性定义证明函数$f\left( x \right)$在$\left( {0,2} \right)$上为减函数；
(2)求函数$f\left( x \right)$在$\displaystyle \left[ {-2,-1} \right]$上的最大值.
21．已知$\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }x\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$表示不超过$x$的最大整数，称为高斯取整函数，例如$\displaystyle \left[ {3.4} \right]=3,\left[ {-4.2} \right]=-5$，不等式$\displaystyle 2\le x+1<3$的解集为$A$，不等式$\displaystyle 2{{x}^{2}}-3x\le 0$的解集为$B$.
(1)求$A\cup B$；
(2)已知$x\in A$，正数$\displaystyle a\text{,}b$满足$a+b=[x]$，求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值.
22．已知$f\left( x \right)$是定义在$\displaystyle \text{R}$上的奇函数，且当$x\ge 0$时，$\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}{{\text{e}}^{x}}$．
(1)求$f\left( x \right)$的解析式；
(2)若$\displaystyle \exists x\in \left[ {-2,2} \right]$使得$f\left( {2x-1} \right)+f\left( {{{x}^{2}}-m} \right)>0$成立，求$\displaystyle m$的取值范围．
23．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度$v$（单位：千米/小时）和车流密度$x$（单位：辆/千米）所满足的关系式：$v=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {60,0<x\le 30} \\ {80-\frac{k}{{150-x}},30<x\le 120} \end{array}} \right.\left( {k\in \text{R}} \right)$.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.
(1)若车流速度$v$不小于40千米/小时，求车流密度$x$的取值范围；
(2)隧道内的车流量$\displaystyle y$（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足$\displaystyle y=x\cdot v$，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：$\displaystyle \sqrt{5}\approx 2.236$）
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