西安南开高级中学

2022-2023学年第一学期期中考试

高一数学

本试卷共150分；考试时间120分钟

注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。

2．请将答案正确填写在答题卡上。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．有下列关系式：①$ \displaystyle \left\{ {a,b} \right\}=\left\{ {b,a} \right\}$；②$ \displaystyle \left\{ {a,b} \right\}\subseteq \left\{ {b,a} \right\}$；③$ \displaystyle \varnothing =\left\{ \varnothing  \right\}$；④$ \displaystyle \left\{ 0 \right\}=\varnothing $；⑤$ \displaystyle \varnothing \subsetneqq \left\{ 0 \right\}$；⑥$ 0\in \left\{ 0 \right\}$．其中不正确的是（       ）

A．①③                          B．②④⑤                    C．①②⑤⑥              D．③④

2．已知集合$ M=\left\{ {-2,1,2,3} \right\}$，$ \displaystyle N=\left\{ {-2,2} \right\}$，下列结论成立的是（       ）

A．$ M\subseteq N$      B．$ \displaystyle M\cap N=\varnothing $          C．$ \displaystyle M\cup N=M$                                              D．$ {{\complement }_{M}}N=\left\{ 1 \right\}$

3．命题“$ \displaystyle \forall x\in \mathbf{R}$都有$ {{x}^{2}}+x+1>0$”的否定是（       ）

A．不存在$ x\in R,{{x}^{2}}+x+1>0$

B．存在$ {{x}_{0}}\in R,{{x}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}+1\le 0$

C．存在$ {{x}_{0}}\in R,{{x}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}+1>0$

D．对任意的$ x\in R,{{x}^{2}}+x+1\le 0$

4．若$ A=\left\{ {x\left| {0<x<1} \right.} \right\}$，$ B=\left\{ {x\left| {x<4} \right.} \right\}$，则$ A$是$ B$的条件

A．充分不必要                B．必要不充分               C．充要                              D．既不充分也不必要

5．已知二次方程$ \displaystyle 2{{x}^{2}}+ax+\frac{1}{2}=0$的一个根为1，则另一个根为（       ）

A．$ \frac{1}{4}$             B．$ \displaystyle \frac{1}{2}$                                 C．2 D．4

6．函数$ \displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x}$在$ [1,8]$上的值域为（       ）

A．$ \displaystyle \left[ {5,\frac{{17}}{2}} \right]$                                          B．$ \displaystyle [4,5]$ C．$ \displaystyle \left[ {4,\frac{{17}}{2}} \right]$                                D．$ \left[ {4,\frac{{15}}{2}} \right]$

7．下列各组函数表示同一函数的是（       ）

A．$ \displaystyle f(x)=\sqrt{{{{x}^{2}}}},g(x)={{(\sqrt{x})}^{2}}$       B．$ \displaystyle f(x)=1,g(x)={{x}^{0}}$

C．$ \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{{{{x}^{3}}}},g(x)={{(\sqrt[3]{x})}^{3}}$     D．$ \displaystyle f(x)=x+1,\quad g(x)=\frac{{{{x}^{2}}-1}}{{x-1}}$

8．已知函数$ f\left( x \right)$满足$ \displaystyle f\left( x \right)+2f\left( {-x} \right)=3x$，则$ f\left( 1 \right)$等于（       ）

A．－3                                B．3                                    C．－1                                D．1

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9．下列关于x的不等式有实数解的有（       ）.

A．$ \displaystyle {{x}^{2}}+3x+3<0$

B．$ {{x}^{2}}+6x+9\le 0$

C．$ \displaystyle -{{x}^{2}}-2x-1>0$

D．$ {{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}-1\ge 0$

10．下列命题中，正确的是（       ）

①若$ x<0$，则$ x+\frac{1}{x}\le -2$；②若$ x>1$，则$ x+\frac{1}{{x-1}}\ge 3$；③若$ x>0$，则$ \displaystyle {{x}^{3}}+\frac{1}{x}\ge 2x$；④若$ a>b$，则$ \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

A．①                                 B．②                                C．③                                 D．④

11．关于函数$ y=\left| x \right|$的说法正确的是（     ）

A．值域为$ \left( {0,+\infty } \right)$                    B．$ y=\left| x \right|=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\left( {x\ge 0} \right)} \\ {-x\left( {x<0} \right)} \end{array}} \right.$

C．该函数为偶函数                                                     D．在$ \left( {-\infty ,0} \right)$上为增函数

12．给出下列四个命题是真命题的是（       ）

A．函数$ y=\left| x \right|$与函数$ y={{\left( {\sqrt{x}} \right)}^{2}}$表示同一个函数；

B．奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；

C．函数$ \displaystyle y=3{{\left( {x-1} \right)}^{2}}$的图像可由$ \displaystyle y=3{{x}^{2}}$的图像向右平移1个单位得到；

D．若函数$ f\left( x \right)$的定义域为$ \displaystyle \left[ {0,2} \right]$，则函数$ \displaystyle f\left( {2x} \right)$的定义域为$ \displaystyle \left[ {0,1} \right]$；

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知集合A＝{1，3，$ \displaystyle \sqrt{m}$}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.

14．若$ x>0$时，$ \displaystyle 1-x-\frac{{16}}{x}$的最大值是____________.

15．若函数$ f(x)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {-x,x>0} \\ {3x+1,x\le 0} \end{array}} \right.$，则$ \displaystyle f\left( {f\left( {-\frac{1}{5}} \right)} \right)=$_________.

16．已知函数$ \displaystyle y=f(x)$是定义在区间$ \displaystyle (-5,1)$上的减函数，若$ f(2m-4)<f(3-4m)$，则实数$ \displaystyle m$的取值范围是__．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．求下列不等式的解集：

(1)$ \displaystyle {{x}^{2}}-5x+6>0$；

(2)$ \displaystyle -\frac{1}{2}{{x}^{2}}+3x-5>0$．

(3)$ \displaystyle \frac{{2x+3}}{{x-1}}\ge 1$

18．已知集合$ A=\left\{ {x\left| {\frac{{x+6}}{{3-x}}\ge 0} \right.} \right\}$，集合$ B=\left\{ {x\left| {{{x}^{2}}\le 16} \right.} \right\}$，集合$ C=\left\{ {x\left| {3x+m<0} \right.} \right\}$．

（1）求$ A\cup B$，$ A\cap B$，$ {{\complement }_{{\text{ R}}}}\left( {A\cup B} \right)$；

（2）若$ x\in C$是$ x\in A$的必要条件，求m的取值范围．

19．已知$ \displaystyle y=f(x)$ 是定义在R上的偶函数，当$ x\ge 0$ 时，$ \displaystyle f(x)={{x}^{2}}-2x$

 

（1）求$ f(1),f(-2)$的值；

（2）求$ \displaystyle f(x)$的解析式；

（3）画出$ \displaystyle y=f(x)$简图；写出$ \displaystyle y=f(x)$的单调递增区间(只需写出结果，不要解答过程).

20．已知关于$ x$的不等式$ \displaystyle k{{x}^{2}}-2x+6k<0$；

（1）若不等式的解集为$ (2,3)$，求实数$ \displaystyle k$的值；

（2）不等式对$ x\in R$恒成立，求实数$ \displaystyle k$的取值范围.

21．已知函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\frac{x}{{{{x}^{2}}-4}}$.

（1）判断函数$ f\left( x \right)$在$ \left( {2,+\infty } \right)$上的单调性并证明；

（2）判断函数$ f\left( x \right)$的奇偶性，并求$ f\left( x \right)$在区间$ \left[ {-6,-3} \right]$上的最大值与最小值.

22．用基本不等式证明不等式

（1）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：$ \displaystyle a+b+c>\sqrt{{ab}}+\sqrt{{bc}}+\sqrt{{ca}}$；

（2）已知a，b，c为正实数，且$ a+b+c=1$，求证：$ \displaystyle \left( {\frac{1}{a}-1} \right)\left( {\frac{1}{b}-1} \right)\left( {\frac{1}{c}-1} \right)\ge 8$．

 

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