1958年普通高等学校招生全国统一考试

数  学

1．甲、求二项式$ {{(1+2x)}^{5}}$展开式中$ {{x}^{3}}$的系数

乙、求证$ \cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 4x=\frac{{\sin 8x}}{{8\sin x}}.$

丙、设AB，AC为一个圆的两弦，D为AB的中点，E为AC的中点，作直线DE交AB于M，交AC于N，求证：AM=AN

丁、求证正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直

戊、求解$ \sin x=\sqrt{3}\cos x.$

2．解方程组

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{x+\frac{1}{y}}}+\sqrt{{x+2y-1}}=4\cdots \cdots \cdots (1)} \\ {2x+2y+\frac{1}{y}=9\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots (2)} \end{array}} \right.$

3．设有二同心圆，半径为R，r(R>r），今由圆心O作半径交大圆于A，交小圆于A＇，由A作直线AD垂直大圆的直径BC，并交BC于D;由A＇作直线A＇E垂直AD，并交AD于E，已知∠OAD=α，求OE的长

4．已知三角形ABC，求作圆经过A及AB中点M，并与BC直线相切

已知：M为△ABC的AB的中点.

求作：一个经过A、M两点且与BC直线相切的圆.

5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为$ \frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根

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