1957年普通高等学校招生全国统一考试

数  学

1．共5小题

甲、化简$ {{(2\frac{7}{9})}^{{\frac{1}{2}}}}+{{0.1}^{{-2}}}+{{(2\frac{{10}}{{27}})}^{{-\frac{2}{3}}}}$

乙、求适合不等式$ {{x}^{2}}+x<2$的实数x的范围

丙、求证$ ctg22{}^\circ 3{0}’=1+\sqrt{{2.}}$

丁、在四面体ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，求证：PQRS为一个菱形

戊、设$ a,b$为异面直线，EF为$ a,b$的公垂线，$ \alpha $为过EF的中点且与$ a,b$平行的平面，M为$ a$上任一点，N为$ b$上任一点 求证线段MN被平面$ \alpha $二等分

2．解方程组

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lg (2x+1)+\lg (y-2)=1} \\ {{{{10}}^{{xy}}}={{{10}}^{x}}\cdot {{{10}}^{y}}} \end{array}} \right.$

3．设△ABC的内切圆半径为r，求证BC边上的高$ AD=\frac{{2r\cdot \cos \frac{B}{2}\cdot \cos \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}}}.$

4．设△ABC为锐角三角形，以BC为直径作圆，并从A作此圆的切线AD与圆切于D点，由在AB边上取AE=AD，并过E作AB的垂线与AC边的延长线交于F，求证：

（1）AE:AB=AC:AF.

（2）△ABC的面积=△AEF的面积.

5．求证方程$ {{x}^{3}}-(\sqrt{2}+1){{x}^{2}}+(\sqrt{2}-Q)x+Q=0$的一个根是1 设这个方程的三个根是△ABC的三个内角的正弦$ \sin A,\sin B,\sin C,$求A、B、C的度数以及Q的值

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