名校真题：西工大附中高2023届第二次适应性训练理科数学试卷
西工大附中 高2023届第二次适应性训练
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设$ z=\frac{{1-\text{i}}}{{1+\text{i}}}$，则$ \left| z \right|\text{=}$（ ）
A. $ \sqrt{\text{2}}$ B. 1 C. $ \displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}$ D. 0
2. 设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A. (-∞，1) B. (-2，1)
C. (-3，-1) D. (3，+∞)
3. 为了降低成本和节约时间，在进行核酸检测时，常常10人一组进行混合检测.若每人 核酸检测结果呈阳性的概率为$ \displaystyle p\left( {0<p<1} \right)$，则10人一组的混合核酸检测结果呈阳性的概率为（ ）
A. $ \displaystyle 1-{{p}^{{10}}}$ B. $ {{p}^{{10}}}$ C. $ 1-{{\left( {1-p} \right)}^{{10}}}$ D. $ \displaystyle \text{C}_{{10}}^{1}{{p}^{1}}{{\left( {1-p} \right)}^{9}}$
4. 已知向量在向量方向上的投影为$ -1$，向量在向量方向上的投影为$ -\frac{1}{2}$，且，则$ \left| {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {a}+2\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {b}} \right|=$
A $ \displaystyle 2\sqrt{3}$ B. 4 C. 2 D. 12
5. 设经过点$ F\left( {1,0} \right)$的直线与抛物线$ {{y}^{2}}=4x$相交于$ A,B$两点，若线段$ AB$中点的横坐标为$ 2$，则$ \left| {AB} \right|=$（ ）
A. $ \displaystyle 4$ B. $ 5$ C. $ \displaystyle 6$ D. $ 7$
6. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了
7. 已知等比数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$，若$ {{a}_{4}}-{{a}_{2}}=12$，$ \displaystyle {{a}_{5}}-{{a}_{3}}=24$，则$ \displaystyle \frac{{{{S}_{4}}}}{{{{a}_{1}}+{{a}_{3}}}}=$（ ）
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
8. 将函数$ \displaystyle f\left( x \right)=\sin \left( {\omega x+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}} \right)\left( {\omega >0} \right)$的图像向左平移$ \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$个单位长度后，得到的图像关于$ y$轴对称，且函数$ f\left( x \right)$在$ \left[ {0,\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}} \right]$上单调递增，则函数$ f\left( x \right)$的最小正周期为（ ）
A. $ \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$ B. $ \displaystyle \pi $ C. $ \displaystyle \frac{{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{2}$ D. $ \displaystyle 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$
9. 数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（ ）
A. $ \displaystyle \frac{{2\pi }}{3}+\sqrt{3}$ B. $ \displaystyle 2\pi +2\sqrt{3}$ C. $ \displaystyle \frac{{2\pi }}{3}-\sqrt{3}$ D. $ \displaystyle 2\pi -2\sqrt{3}$
10. 设F为双曲线C：$ \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}-\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1$（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A. $ \sqrt{2}$ B. $ \sqrt{3}$
C. 2 D. $ \sqrt{5}$
11. 如图，在三棱锥$ \displaystyle S-ABC$中，$ SA\bot $平面$ \displaystyle ABC$，$ \displaystyle AB=BC=4$，$ \angle ABC=90{}^\circ $，侧棱$ \displaystyle SB$与平面$ \displaystyle ABC$所成的角为$ \displaystyle 45{}^\circ $，$ M$为$ AC$的中点，$ \displaystyle N$是侧棱$ SC$上一动点，当$ \vartriangle BMN$的面积最小时，异面直线$ \displaystyle SB$与$ MN$所成角的余弦值为（ ）
A. $ \displaystyle \frac{1}{6}$ B. $ \displaystyle \frac{{\sqrt{2}}}{3}$ C. $ \displaystyle \frac{{\sqrt{6}}}{6}$ D. $ \frac{{\sqrt{3}}}{6}$
12. 已知关于$ x$的不等式$ {{\text{e}}^{{ax}}}\ge x+b$对任意$ x\in R$恒成立，则$ \frac{b}{a}$的最大值为（ ）
A. $ \displaystyle \frac{1}{2}$ B. 1 C. $ \frac{e}{2}$ D. $ e$
二.填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. $ {{(x-\frac{1}{x}\text{)}}^{\text{6}}}$的展开式中的常数项是：__________．(请用数字作答)
14. 设，若$ f\left( a \right)=f\left( {{{\text{e}}^{a}}} \right)$，则$ \displaystyle f\left( {\frac{1}{a}} \right)=$______.
15. 若$ \displaystyle P\left( n \right)$表示整数$ n$的个位数字，$ {{a}_{n}}=P\left( {{{n}^{2}}} \right)-P\left( {2n} \right)$，数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$，则$ {{S}_{{2023}}}=$______.
16. 已知三棱锥$ \displaystyle S-ABC$的顶点都在球$ O$的球面上，且该三棱锥的体积为$ \displaystyle 2\sqrt{3}$，$ SA\bot $平面$ \displaystyle ABC$，$ \displaystyle SA=4$，$ \displaystyle \angle ABC=120{}^\circ $，则球$ O$的体积的最小值为______.
三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 在$ \displaystyle \vartriangle ABC$中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，$ \displaystyle a\cos B+b\cos A=3a$，$ \displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$．
（Ⅰ）求$ \displaystyle \frac{c}{a}$的值；
（Ⅱ）已知$ \displaystyle \vartriangle ABC$ 面积为$ \displaystyle 2\sqrt{5}$，求边b．
18. 如图，在多边形$ \displaystyle ABPCD$中（图1）．四边形$ \displaystyle ABCD$为长方形，$ \vartriangle BPC$为正三角形，$ AB=3$，$ \displaystyle BC=3\sqrt{2}$，现以$ \displaystyle BC$为折痕将$ \vartriangle BPC$折起，使点$ P$在平面$ \displaystyle ABCD$内的射影恰好是$ \displaystyle AD$的中点（图2）．
（1）证明：$ \displaystyle AB\bot $平面$ \displaystyle PAD$；
（2）若点$ \displaystyle E$在线段$ PB$上，且$ \displaystyle PE=\frac{1}{3}PB$，求二面角$ \displaystyle E-DC-B$的余弦值．
19. 2021年，为降低疫情传播风险，保障经济社会良好运行，各地区鼓励外来务工人员就地过节、过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人员数与就地过年的人员数，得到如下的表格：
（1）已知可用线性回归模型拟合$ y$与$ x$的关系，求$ y$关于$ x$的线性回归方程$ \displaystyle \widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$.
（2）假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的人每人发放1000元补贴.
（ⅰ）若该市$ E$区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给$ E$区选择就地过年的人员发放的补贴总金额；
（ⅱ）若$ A$区的外来务工人员中甲、乙两人选择就地过年的概率分别为$ p$，$ 2p-1\left( {\frac{1}{2}<p<1} \right)$，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1500元，求$ p$的取值范围.
参考公式：回归方程$ \displaystyle \widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$ \widehat{b}=\frac{{\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\overline{x}\overline{y}}}}}{{\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{x_{i}^{2}-n{{{\overline{x}}}^{2}}}}}}$，$ \displaystyle \widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$.
20. 已知椭圆$ \displaystyle C:\frac{{{{x}^{2}}}}{9}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1(b>0)$上的动点P到右焦点距离的最小值为$ 3-2\sqrt{2}$.
（1）求椭圆C 方程；
（2）若直线l和椭圆C交于M、N两点，A为椭圆 右顶点，$ \overrightarrow{{AM}}\cdot \overrightarrow{{AN}}=0$，求$ \displaystyle \vartriangle AMN$面积的最大值.
21. 已知$ g(x)$是函数$ \displaystyle f(x)=x\ln x-\frac{1}{2}a{{x}^{2}}$(a∈R)的导函数．
（1）讨论$ g(x)$的单调性；
（2）若f(x)有两个极值点$ {{x}_{1}},{{x}_{2}}$$ ({{x}_{1}}<{{x}_{2}})$，且$ f({{x}_{2}})\ge \frac{{{{e}^{2}}}}{2}$，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在极坐标系中，圆$ C:\rho =4\cos \theta $.以极点$ O$为原点，极轴为$ x$轴正半轴建立直角坐标系$ xOy$，直线$ \displaystyle l$经过点$ \displaystyle M\left( {-1,-3\sqrt{3}} \right)$且倾斜角为$ \displaystyle \alpha $.
$ \left( 1 \right)$求圆$ \displaystyle C$的直角坐标方程和直线$ \displaystyle l$的参数方程；
$ \left( 2 \right)$已知直线$ \displaystyle l$与圆$ \displaystyle C$交与$ A$，$ B$，满足$ A$为$ MB$的中点，求$ \displaystyle \alpha $.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数$ f(x)=\left| {x+1} \right|-m\left| {x-2} \right|,m\in R$．
（1）当$ \displaystyle m=3$时，求不等式$ \displaystyle f(x)>1$的解集；
（2）当$ x\in \left[ {-1,2} \right]$时，不等式$ f(x)<2x+1$恒成立，求$ \displaystyle m$的取值范围．