名校真题:西工大附中高2023届第一次适应性训练理科数学试卷

作者: 张老师 分类: 理科 发布时间: 2022-11-07 11:42

内容预览:

一、选择题

1.已知集合$ \displaystyle A=\left\{ {x|-2<x<1} \right\}$,$ \displaystyle B=\left\{ {x|0\le x\le 2} \right\}$,则A∪B=(       )

A.$ \displaystyle \left\{ {x|0\le x<1} \right\}$                            B.$ \displaystyle \left\{ {x|-2<x\le 2} \right\}$                     C.$ \displaystyle \left\{ {x|1<x\le 2} \right\}$  D.$ \displaystyle \left\{ {x|0<x<1} \right\}$

2.在复平面内,复数$ \frac{{a\text{+2i}}}{\text{i}}\left( {a\in \text{R}} \right)$对应的点位于第四象限,则实数$ \displaystyle a$的取值范围为(       )

A.$ \left( {0,+\infty } \right)$                   B.$ \left( {-\infty ,0} \right)$ C.$ \left( {2,+\infty } \right)$                                   D.$ \left( {-\infty ,2} \right)$

3.已知$ A=\left\{ {\left. {\left( {x,y} \right)} \right|\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {xy=1} \\ {x>0,y>0} \end{array}} \right.} \right\}$,$ B=\left\{ {\left. {\left( {x,y} \right)} \right|x+y\ge 2} \right\}$,则“$ \displaystyle P\in A$”是“$ \displaystyle P\in B$”的(       )

A.充分不必要条件                                       B.必要不充分条件

C.充要条件                                                  D.既不充分也不必要条件

4.已知角$ \alpha $的终边经过点$ \displaystyle P\left( {1,3} \right)$,则$ \frac{{\text{sin}\alpha \text{cos}2\alpha }}{{\text{sin}\alpha -\text{cos}\alpha }}=$(       )

A.$ \frac{\text{6}}{\text{5}}$                    B.$ \displaystyle \frac{\text{4}}{\text{5}}$      C.$ -\frac{6}{5}$               D.$ \displaystyle -\frac{4}{5}$

5.函数$ \displaystyle y=\frac{{\sin \left| {2x} \right|}}{{{{x}^{2}}+1}}$在$ \displaystyle \left[ {-\pi ,\pi } \right]$的图象大致为(       )

6.已知$ O$是$ \displaystyle \vartriangle ABC$内一点,满足$ \overrightarrow{{AO}}=\frac{2}{3}\left( {\overrightarrow{{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{BC}}} \right)$,则$ {{S}_{{\vartriangle ABC}}}:{{S}_{{\vartriangle OBC}}}=$(       )

A.$ 3:1$                   B.$ \displaystyle 1:3$                               C.$ \displaystyle 2:1$                                   D.$ \displaystyle 1:2$

7.已知非零实数$ \displaystyle m,n$满足$ \displaystyle {{m}^{2}}\cdot |m|>{{n}^{2}}\cdot |n|$,则下列结论错误的是(       )

A.$ \displaystyle \ln |m|>\ln |n|$     B.$ \displaystyle \frac{1}{{|m|}}<\frac{1}{{|n|}}$   C.$ \displaystyle |m|+\sin |m|<|n|+\sin |n|$    D.$ \displaystyle {{m}^{2}}>{{n}^{2}}$

8.已知两个圆锥侧面展开图均为半圆,侧面积分别记为$ {{S}_{1}},{{S}_{2}}$,且$ \frac{{{{S}_{1}}}}{{{{S}_{2}}}}=2$,对应圆锥外接球体积分别为$ {{V}_{1}},{{V}_{2}}$,则$ \frac{{{{V}_{1}}}}{{{{V}_{2}}}}=$(       )

A.8                           B.$ \text{4}\sqrt{\text{2}}$                       C.$ \displaystyle \text{2}\sqrt{\text{2}}$                                   D.2

9.在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中有一个“国际服务项目”,截止到2022年1月25日还有8个名额空缺,需要分配给3个单位,则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的方法种数是(       )

A.14                         B.12                         C.10                          D.8

10.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线$ \displaystyle {{y}^{2}}=2x$上任意一点,M是线段PF上的点,且$ \displaystyle PM=2MF$,则直线OM的斜率的最大值为(       )

A.1                           B.$ \displaystyle \frac{1}{2}$                   C.$ \frac{{\sqrt{2}}}{2}$                                   D.$ \frac{{\sqrt{5}}}{2}$

11.在三棱锥$ P-ABC$中,$ PA\bot $平面ABC,$ \displaystyle AB=2$,$ \displaystyle \vartriangle ABC$与$ \vartriangle PAB$的外接圆圆心分别为$ \displaystyle {{O}_{1}}$,$ \displaystyle {{O}_{2}}$,若三棱锥$ P-ABC$的外接球的表面积为$ \displaystyle 16\pi $,设$ \displaystyle {{O}_{1}}A=a$,$ \displaystyle {{O}_{2}}A=b$,则$ a+b$的最大值是(       )

A.$ \sqrt{5}$           B.$ \sqrt{{10}}$      C.$ \displaystyle 2\sqrt{3}$  D.$ \displaystyle 2\sqrt{5}$

12.已知函数$ f\left( x \right)=\frac{{ax}}{{{{\text{e}}^{{x-1}}}}}+x-\text{ln}\ \left( {ax} \right)-2(a>0)$ ,若函数$ f\left( x \right)$在区间$ \displaystyle (0,+\infty )$内存在零点,则实数a的取值范围是(       )

A.$ \displaystyle \left( {0,1} \right]$        B.$ \displaystyle [1,+\infty )$      C.$ \left( {0,\text{e}} \right]$                                   D.$ \displaystyle [\text{e},+\infty )$

二、填空题

13.函数$ f\left( x \right)$是定义在R上的奇函数,当$ -1<x<0$时,$ f\left( x \right)={{3}^{x}}$,则$ f\left( {{{{\log }}_{3}}2} \right)=$______.

14.$ \displaystyle \left( {1-2{{x}^{2}}} \right){{(1+x)}^{4}}$的展开式中$ {{x}^{3}}$的系数为__________.

15.$ \displaystyle \vartriangle ABC$的内角$ \displaystyle A,B,C$的对边分别为$ a,b,c$.若$ b=6,a=2c,B=\frac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$,则$ \displaystyle \vartriangle ABC$的面积为__________.

16.已知实数$ {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{1}},{{y}_{2}}$满足:$ \displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1$,$ \displaystyle x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=1$,$ {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}=0$,则$ \displaystyle \frac{{\left| {{{x}_{1}}+{{y}_{1}}-1} \right|}}{{\sqrt{2}}}+\frac{{\left| {{{x}_{2}}+{{y}_{2}}-1} \right|}}{{\sqrt{2}}}$的最大值为______.

三、解答题

17.已知数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$,$ {{S}_{3}}=13$,$ \displaystyle {{a}_{{n+1}}}=2{{S}_{n}}+1$.

(1)证明:数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$是等比数列;

(2)若$ \displaystyle {{b}_{n}}=\frac{1}{{{{{\log }}_{{\sqrt{3}}}}{{a}_{{n+1}}}}}$,求数列$ \displaystyle \left\{ {{{b}_{n}}{{b}_{{n+1}}}} \right\}$的前$ n$项和$ {{T}_{n}}$.

18.2022年4月16日,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆,航天员翟志刚,王亚平,叶光富顺利出舱,神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就,发扬并传承中国航天精神,某校高一年级组织2000名学生进行了航天知识竞赛并进行纪录(满分:100分)根据得分将数据分成7组:[20,30),[30,40),..,[80,90],绘制出如下的频率分布直方图

(1)用频率估计概率,从该校随机抽取2名同学,求其中1人得分低于70分,另1人得分不低于80分的概率;

(2)从得分在$ \displaystyle \left[ {60,90} \right]$的学生中利用分层抽样选出8名学生,若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动,求选出的3人竞赛得分不低于70分的人数$ X$的分布列及数学期望.

19.如图,在四棱锥$ P-ABCD$中,底面四边形$ \displaystyle ABCD$为菱形,$ E$为棱$ PD$的中点,$ \displaystyle O$为边$ AB$的中点.

(1)求证:$ \displaystyle AE$$ \displaystyle \text{//}$平面$ \displaystyle POC$;

(2)若侧面$ PAB\bot $底面$ \displaystyle ABCD$,且$ \angle ABC\text{=}\angle PAB\text{=}\frac{\pi }{\text{3}}$,$ AB=2PA=4$,求$ PD$与平面$ \displaystyle POC$所成的角.

20.已知椭圆C:$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1$($ \displaystyle a>0$,$ \displaystyle b>0$)的长轴为双曲线$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{8}-\frac{{{{y}^{2}}}}{4}=1$的实轴,且椭圆C过点P(2,1).

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)点A,B是椭圆C上异于点P的两个不同的点,直线PA与PB的斜率均存在,分别记为$ {{k}_{1}}$,$ {{k}_{2}}$,且$ {{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}=-\frac{1}{2}$,当坐标原点O到直线AB的距离最大时,求直线AB的方程.

21.已知函数$ f\left( x \right)=ax+\cos x\left( {0\le x\le \pi ,a\in R} \right)$.

(1)当$ a=\frac{1}{2}$时,求$ f\left( x \right)$的单调区间;

(2)若函数$ f\left( x \right)$恰有两个极值点,记极大值和极小值分别为$ M$,$ \displaystyle m$,求证:$ 2M-m\ge \frac{3}{2}$.

22.在平面直角坐标系$ xOy$中,已知曲线$ \displaystyle C$的参数方程为$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\text{=cos}\alpha } \\ {y\text{=sin}\alpha } \end{array}} \right.$,($ \alpha $为参数).以原点$ \displaystyle O$为极点,$ x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点$ M$的极坐标为$ \left( {4,\frac{\pi }{2}} \right)$,直线的倾斜角为$ \displaystyle \frac{\pi }{3}$,直线过点$ M$.

(1)试写出直线的极坐标方程,并求曲线$ \displaystyle C$上的点到直线距离的最大值;

(2)把曲线$ \displaystyle C$上点的横坐标扩大到原来的3倍,纵坐标扩大到原来的2倍,得到曲线$ {{C}_{\text{1}}}$,若过点$ E\left( {1,0} \right)$作与直线平行的直线$ \displaystyle {{l}^{\prime }}$,交曲线$ {{C}_{\text{1}}}$于$ A\text{,}B$两点,试求$ \left| {EA} \right|\cdot \left| {EB} \right|$的值.


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