名校真题：西工大附中高2023届第一次适应性训练文科数学
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数$ \frac{{a\text{+2i}}}{\text{i}}\left( {a\in \text{R}} \right)$对应的点位于第四象限，则实数$ \displaystyle a$的取值范围为（ ）
A．$ \left( {0,+\infty } \right)$ B．$ \left( {-\infty ,0} \right)$ C．$ \left( {2,+\infty } \right)$ D．$ \left( {-\infty ,2} \right)$
2．已知$ A=\left\{ {\left. {\left( {x,y} \right)} \right|\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {xy=1} \\ {x>0,y>0} \end{array}} \right.} \right\}$，$ B=\left\{ {\left. {\left( {x,y} \right)} \right|x+y\ge 2} \right\}$，则“$ \displaystyle P\in A$”是“$ \displaystyle P\in B$”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知在$ \vartriangle ABC$中，$ AB\text{=2,}AC\text{=1,}D$为$ \displaystyle BC$的中点，则$ \displaystyle \overrightarrow{{AD}}\cdot \overrightarrow{{BC}}=$（ ）
A．$ -1$ B．$ \displaystyle -\frac{3}{2}$ C．$ -2$ D．$ -3$
4．已知角$ \alpha $的终边经过点$ \displaystyle P\left( {1,3} \right)$，则$ \displaystyle \frac{{\sin \alpha +\cos \alpha }}{{\sin \alpha -\cos \alpha }}=$（ ）
A．$ \displaystyle \frac{\text{4}}{\text{3}}$ B．$ \frac{\text{5}}{\text{3}}$ C．2 D．$ \displaystyle \frac{\text{8}}{\text{3}}$
5．函数$ \displaystyle y=\frac{{\sin \left| {2x} \right|}}{{{{x}^{2}}+1}}$在$ \displaystyle \left[ {-\pi ,\pi } \right]$的图象大致为（ ）
6．已知$ a\text{=}\frac{{\text{ln2}}}{\text{2}}\text{,}b\text{=}\frac{{\text{ln3}}}{\text{3}}\text{,}c\text{=}\frac{{\text{ln5}}}{\text{5}}$，则（ ）
A．$ \displaystyle c>b>a$ B．$ \displaystyle b>a>c$
C．$ \displaystyle b>c>a$ D．$ a>b>c$
7．已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为$ {{S}_{1}},{{S}_{2}}$，且$ \frac{{{{S}_{1}}}}{{{{S}_{2}}}}=2$，对应圆锥外接球体积分别为$ {{V}_{1}},{{V}_{2}}$，则$ \frac{{{{V}_{1}}}}{{{{V}_{2}}}}=$（ ）
A．8 B．$ \text{4}\sqrt{\text{2}}$ C．$ \displaystyle \text{2}\sqrt{\text{2}}$ D．2
8．已知下表所示的数据的回归直线为$ \hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，则$ \hat{b}=$（ ）．$ \displaystyle {{x}_{i}}$
9．直线$ y=kx\left( {k\in R} \right)$与椭圆$ \frac{{{{x}^{2}}}}{6}+\frac{{{{y}^{2}}}}{2}=1$相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则$ \left| {AB} \right|$的取值范围是（ ）
A．$ \displaystyle \left[ {\sqrt{2},\sqrt{6}} \right)$ B．$ \left[ {2,2\sqrt{6}} \right]$ C．$ \displaystyle \left( {2,2\sqrt{6}} \right]$ D．$ \left( {2,6} \right]$
10．$ \vartriangle ABC$的内角$ \displaystyle A\text{,}B\text{,}C$的对边分别为$ \displaystyle a\text{,}b\text{,}c$.若$ b\text{=6,}a\text{=2}c\text{,}B\text{=}\frac{\pi }{\text{3}}$，则$ \vartriangle ABC$的面积为（ ）
A．$ \text{3}\sqrt{\text{3}}$ B．$ \displaystyle \text{6}\sqrt{\text{3}}$ C．$ \displaystyle \text{6}\sqrt{\text{2}}$ D．$ \displaystyle \text{4}\sqrt{\text{3}}$
11．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线$ \displaystyle {{y}^{2}}=2x$上任意一点，M是线段PF上的点，且$ \displaystyle PM=2MF$，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．1 B．$ \displaystyle \frac{1}{2}$ C．$ \frac{{\sqrt{2}}}{2}$ D．$ \frac{{\sqrt{5}}}{2}$
12．已知实数$ f\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{e}^{x}},x\ge 0} \\ {\lg \left( {-x} \right),x<0} \end{array}} \right.$，若关于$ x$的方程$ {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+t=0$有三个不同的实数，则$ \displaystyle t$的取值范围为（ ）
A．$ \displaystyle \left( {-\infty ,-2} \right]$ B．$ \left[ {1,+\infty } \right)$ C．$ \left[ {-2,1} \right]$ D．$ \displaystyle \left( {-\infty ,-2} \right]\bigcup \left[ {1,+\infty } \right)$
二､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数$ f\left( x \right)$是定义在R上的奇函数，当$ -1<x<0$时，$ f\left( x \right)={{3}^{x}}$，则$ f\left( {{{{\log }}_{3}}2} \right)=$______．
14．已知实数$ x,y$满足不等式组$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\text{+}y\ge \text{1,}} \\ {x-\text{2}y\le \text{4,}} \end{array}} \right.$则$ x+2y$的最小值为__________.
15．已知直线过点，且斜率为1，若圆$ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$上恰有3个点到的距离为1，则$ \displaystyle a$的值为__________.
16．已知$ \displaystyle DE$是边长为6的正三角形$ \displaystyle ABC$的一条中位线，将$ \displaystyle \vartriangle ADE$沿直线$ \displaystyle DE$翻折至$ \displaystyle \vartriangle {{A}_{1}}DE$，则当三棱锥$ {{A}_{\text{1}}}-CED$的体积最大时，四棱锥$ {{A}_{\text{1}}}-BCDE$外接球$ \displaystyle O$的表面积为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第$ \text{17}\sim \text{21}$题为必做题，每个试题考生都必修作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．已知数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$的前$ n$项和为$ {{S}_{n}}$，$ {{S}_{3}}=13$，$ \displaystyle {{a}_{{n+1}}}=2{{S}_{n}}+1$.
(1)证明：数列$ \left\{ {{{a}_{n}}} \right\}$是等比数列；
(2)若$ \displaystyle {{b}_{n}}=\frac{1}{{{{{\log }}_{{\sqrt{3}}}}{{a}_{{n+1}}}}}$，求数列$ \displaystyle \left\{ {{{b}_{n}}{{b}_{{n+1}}}} \right\}$的前$ n$项和$ {{T}_{n}}$.
18．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2021年11月11日的网购金额，所得数据如下表：
已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2.
(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）；
(2)估计网购金额的中位数；
(3)在一次网购中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中任选种方式进行支付，求两人恰好选择同一种支付方式的概率.
19．如图，在四棱锥$ \displaystyle P-ABCD$中，底面四边形$ \displaystyle ABCD$为菱形，$ E$为棱$ PD$的中点，$ \displaystyle O$为边$ AB$的中点.
(1)求证：平面$ \displaystyle POC$；
(2)若侧面$ \displaystyle PAB\bot $底面$ \displaystyle ABCD$，且$ \angle ABC\text{=}\angle PAB\text{=}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}\text{,}AB\text{=2}PA\text{=4}$，求点$ \displaystyle D$到平面$ \displaystyle POC$的距离.
20．已知椭圆$ C:\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}=1(a>b>0)$的长轴为双曲线$ \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{8}-\frac{{{{y}^{2}}}}{4}=1$的实轴，且椭圆$ \displaystyle C$过点$ \displaystyle P\left( {2,1} \right)$.
(1)求椭圆$ \displaystyle C$的标准方程；
(2)设点$ A\text{,}B$是椭圆$ \displaystyle C$上异于点$ P$的两个不同的点，直线$ \displaystyle PA$与$ PB$的斜率均存在，分别记为，若 ，试问直线 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
21．已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\text{=cos}\alpha } \\ {y\text{=sin}\alpha } \end{array}} \right.$
（二）选考题：共10分.请考生在22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.
22．在平面直角坐标系$ xOy$中，已知曲线的参数方程为，（$ \alpha $为参数）.以原点$ \displaystyle O$为极点，$ x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点$ M$的极坐标为$ \left( {4,\frac{\pi }{2}} \right)$，直线的倾斜角为$ \displaystyle \frac{\pi }{3}$，直线过点$ M$.
(1)试写出直线的极坐标方程，并求曲线$ \displaystyle C$上的点到直线距离的最大值；
(2)把曲线$ \displaystyle C$上点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标扩大到原来的2倍，得到曲线$ {{C}_{\text{1}}}$，若过点$ E\left( {1,0} \right)$作与直线平行的直线$ \displaystyle {{l}^{\prime }}$，交曲线$ {{C}_{\text{1}}}$于$ A\text{,}B$两点，试求$ \left| {EA} \right|\cdot \left| {EB} \right|$的值.
23．已知a，b，c都为正实数，且$ \displaystyle a+b+c=3$.证明：
（1）$ \displaystyle \sqrt{{2a+1}}+\sqrt{{2b+1}}+\sqrt{{2c+1}}\le 3\sqrt{3}$；
（2）$ \displaystyle \left( {\frac{1}{a}-\frac{1}{3}} \right)\left( {\frac{1}{b}-\frac{1}{3}} \right)\left( {\frac{1}{c}-\frac{1}{3}} \right)\ge \frac{8}{{27}}$.